Verlegung einer Telefonleitung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer ländlichen Gegend beantragt ein Landwirt einen neuen Telefonanschluss. Die Leitung soll vom Nachbargehöft (A) zu Gehöft des Landwirts (B) verlegt werden. Gehöft A liegt an einer Landstraße, von der der Zufahrtsweg zu Gehöft B nach 1 km abzweigt. Gehöft B liegt 2 km von der Landstraße entfernt.
Der Besitzer von Gehöft B besteht darauf, dass auf seinem Gelände - es reicht bis zu Landstraße - das Kabel unterirdisch verlegt wird. Andererseits wäre eine Freileitung erheblich billiger. Sie käme aber nur entlang der Landstraße in Frage.
Die kompletten Kosten für eine Erdkabelverlegung betragen pro Kilometer 55000 , für eine Freiluftleitung 15000 pro Kilometer.
Um die Kosten zu minimieren verlegt die Telekom einen Teil des Telefonkabels entlang der Straße als Freileitung. Den Rest verlegt sie als Erdkabel auf dem Grundstück des Gehöftes B. |
hallo erstmal, einen teil der aufgabe habe ich schon bewältigt (glaube ich zumindest), komme nun aber nicht mehr weiter.
x ist die Länge der Freileitung und y die Erdleitung.
Die Kosten K für die Leitung errechnet sich aus
[mm]K = 15000 x + 55000 y[/mm]
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras hab ich dann eine Nebenbedingung für y aufgestellt.
[mm]y^2 = (1-x)^2 + 2^2[/mm]
also ist
[mm]y = \wurzel{(1-x)^2 + 2^2}[/mm]
Nach Einsetzen erhalte ich die Kostenfunktion
[mm]K(x) = 15000 x + 55000 \wurzel{(1-x)^2 + 2^2}[/mm]
Ein Minimum zu finden habe ich allerdings noch nicht geschafft.
Ich hoffe Ihr könnt mir bei meinem Problem helfen. Vielen dank schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Fr 09.03.2007 | | Autor: | MarinaS |
Ich würde an deiner Stelle einfach noch mal versuchen, die Fkt auf Extrema zu untersuchen: ich kommen auf eine Tiefpunkt an der Stelle
x = 1 - [mm] \bruch{3 * \wurzel{7} }{14} \approx [/mm] 0,433
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:22 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Peter-Pan |
Ich habe mich noch mal an die Nullstellen Berechnung gesetzt und ein Ergebnis was zwar ähnlich aussieht herraus, trotzdem ist es falsch, nicht zuletzt da es negativ ist, ich habe
[mm]1- \bruch{60}{\wurzel{2125}}[/mm]
meine Ableitung, schon erweitert und alles sieht so aus:
[mm]K'(x) = \bruch {30\wurzel{(1-x)^2+4}-55(1-x)}{2\wurzel{(1-x)^2+4}}[/mm]
ich hab momentan keine ahnung wo mein fehler liegt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter-Pan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich weiß jetzt nicht genau, wie Du auf Deine Ableitung $K'(x)_$ kommst. Aber mal zum Vergleich meine Version:
$K'(x) \ = \ [mm] 15000+55000*\bruch{1}{2*\wurzel{(1-x)^2+4}}*2*(1-x)^1*(-1) [/mm] \ = \ [mm] 15000+55000*\bruch{x-1}{\wurzel{(1-x)^2+4}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Fr 09.03.2007 | | Autor: | ONeill |
Hy!
Also ich nehme mal an, dass es an der Ableitung des Teils [mm] ((1-x)^2+4)^0,5
[/mm]
Das müsste die Kettenregel(?) sein und dann wird wie folgt abgeleitet:
Also Innere- mal Äußere Ableitung und das musst du hier gleich doppelt machen.
Schreib die Wurzel mal als ^0,5, dann wird das leichter:
=> [mm] ((1-x)^2+4)^0,5
[/mm]
Ableitung ist dann:
[mm] (0,5*2*(1-x)*(-1))/((1-x)^2+4)^0,5
[/mm]
zusammenfassen ergibt dann
[mm] (-1+x)/((1-x)^2+4)^0,5
[/mm]
Ich denke den Rest der Ableitung schaffst du dann auch so. Viel Erfolg!
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