Verknüpfungstafeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Stellen Sie für die Restklassen mod m folgende Verknüpfungstafeln auf:
a) m = 3, Addition
b) m = 4, Multiplikation
c) m=8 , aber ohne die Restklasse [mm] 0^{-}; [/mm] Multiplikation (der Strich soll über der Null sein) |
Hallo,
könnt ihr mir sagen, ob das so richtig ist?
zu a) m=3
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 3
2 2 3 0
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Stellen Sie für die Restklassen mod m folgende
> Verknüpfungstafeln auf:
>
> a) m = 3, Addition
...
> zu a) m=3
>
> + 0 1 2
> 0 0 1 2
> 1 1 2 3
> 2 2 3 0
>
> Grüße
Überlege bitte, welche "Reste" bei m = 3 vorkommen können und vergleiche dann noch einmal Deine Ergebnisse.
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
> Guten Tag!
>
> > Stellen Sie für die Restklassen mod m folgende
> > Verknüpfungstafeln auf:
> >
> > a) m = 3, Addition
> ...
> > zu a) m=3
> >
> > + 0 1 2
> > 0 0 1 2
> > 1 1 2 3
> > 2 2 3 0
> >
> > Grüße
> Überlege bitte, welche "Reste" bei m = 3 vorkommen können
> und vergleiche dann noch einmal Deine Ergebnisse.
>
> Salve
>
> Pappus
Hallo,
also:
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 0
Bei 2+2=4 mod 3 -> Rest 1 oder? Dann dürfte die letzte Null ja eigentlich eine 1 sein? oder? Grüße
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Hallo Bodo,
> > Guten Tag!
> >
> > > Stellen Sie für die Restklassen mod m folgende
> > > Verknüpfungstafeln auf:
> > >
> > > a) m = 3, Addition
> > ...
> > > zu a) m=3
> > >
> > > + 0 1 2
> > > 0 0 1 2
> > > 1 1 2 3
> > > 2 2 3 0
> > >
> > > Grüße
> > Überlege bitte, welche "Reste" bei m = 3 vorkommen können
> > und vergleiche dann noch einmal Deine Ergebnisse.
> >
> > Salve
> >
> > Pappus
>
> Hallo,
>
> also:
>
> + 0 1 2
> 0 0 1 2
> 1 1 2 0
> 2 2 0 0
>
> Bei 2+2=4 mod 3 -> Rest 1 oder?
Ja!
> Dann dürfte die letzte
> Null ja eigentlich eine 1 sein? oder?
Ja, muss sie sogar sein.
> Grüße
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok!
Für b) m=4 habe ich
* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
richtig?
für teil c) m=8, (ohne Restklasse 0) habe ich:
* 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 4 6 8 2 4 6 0
3 3 6 1 4 7 2 5 0
4 4 0 4 0 4 0 4 0
5 5 2 7 4 1 6 3 0
6 6 4 2 0 6 4 2 0
7 7 6 5 4 3 2 1 0
8 0 0 0 0 0 0 0 0
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Hallo Bodo,
> Ok!
>
> Für b) m=4 habe ich
>
> * 0 1 2 3
> 0 0 0 0 0
> 1 0 1 2 3
> 2 0 2 0 2
> 3 0 3 2 1
>
> richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> für teil c) m=8, (ohne Restklasse 0) habe ich:
>
> * 1 2 3 4 5 6 7 8
> 1 1 2 3 4 5 6 7 0
> 2 2 4 6 8 2 4 6 0
> 3 3 6 1 4 7 2 5 0
> 4 4 0 4 0 4 0 4 0
> 5 5 2 7 4 1 6 3 0
> 6 6 4 2 0 6 4 2 0
> 7 7 6 5 4 3 2 1 0
> 8 0 0 0 0 0 0 0 0
Nee, die Restklasse 8 entspricht doch wieder der Restklasse 0.
Und die soll ja ausgenommen sein.
Du hast in deiner Menge, auf der du die Verknüpfung aufstellen sollst, nur die 7 Elemente 1,2,3,4,5,6,7 (Restklassen)
Wie du in deiner Tafel siehst, kommst du zB. bei [mm] $2\cdot{} [/mm] 4=8=0$ aus der Menge raus, die Menge ist also nicht abgeschlossen unter Multiplikation ..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok,
also das würde heißen, dass für a und b eine Gruppenstruktur vorliegen müsste da, bzgl. der Addition a) und Multiplikation in b) die Gruppe abgeschlossen ist. Für c) ist sie nicht abgeschlossen bzgl. der Multiplikation. Könnte man das so begründen?
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Hallo Bodo,
dass c) bzgl. Multiplikation nicht abgeschlossen ist, ist offensichtlich.
Für a) und b) müsstest Du aber auch die Abgeschlossenheit bzgl. der Inversenbildung noch betrachten (das ist hier ja unproblematisch).
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also würde für die Inversenbildung doch gelten:
Beispiel in a)
2+1 = 1 + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 3
und gilt für alle weiteren Fälle ja. Also Gruppe abgeschlossen.
Beispiel in b)
2*1 = 1 * 2 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 4
und gilt auch hier für alle weiteren Fälle. Gruppe abgeschlossen.
Also wenn die Gruppe abgeschlossen ist -> Gruppenstruktur liegt vor ?
Beispiel in c) hier geht es nicht da einmal bei 4*2 -> 0 und bei 2*4 -> 8 herauskommt, richtig?
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Mönnesch... (schnell zu sprechen)
Nirgendwo kommt 8 heraus! Die höchste Restklasse mod m ist nach Konvention (m-1). Sie könnte natürlich auch [mm] \overline{m} [/mm] heißen, dann dürfte es aber die Restklasse [mm] \overline{0} [/mm] nicht geben.
> Beispiel in a)
[...]
> und gilt für alle weiteren Fälle ja. Also Gruppe
> abgeschlossen.
> Beispiel in b)
[...]
> und gilt auch hier für alle weiteren Fälle. Gruppe
> abgeschlossen.
> Also wenn die Gruppe abgeschlossen ist -> Gruppenstruktur
> liegt vor ?
Ja.
> Beispiel in c) hier geht es nicht da einmal bei 4*2 -> 0
> und bei 2*4 -> 8 herauskommt, richtig?
Siehe oben. Das Problem für die Inversenbildung ist vor allem die Zeile mit der 4...
Auch ansonsten war die Gruppe ja sowieso nicht abgeschlossen, so dass man die Inversenbildung nicht mehr untersuchen muss. Sie führt aber zum gleichen Ergebnis.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Warum liegt das Problem jetzt in der Zeile mit der 4? Das versteh ich nicht so wirklich... Wie so ist diese nicht abgeschlossen? Kann man das irgendwie "sehen"?
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Hallo Bodo,
da steht doch "4 0 4 0 4 0 4 0".
Was sagt Dir das über die Eindeutigkeit des Inversen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Wir hatten die 0 als Restklasse ausgeschlossen, damit gehts schon nicht...
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Hi.
> Wir hatten die 0 als Restklasse ausgeschlossen, damit gehts
> schon nicht...
Ja, soweit waren wir doch schon. Aber wenn die [mm] \overline{0} [/mm] eine "erlaubte" Restklasse wäre, dann würde Dir die 4er-Zeile immer noch sagen, dass die Abgeschlossenheit bzgl. des Inversen nicht gegeben ist, und zwar einfach deswegen, weil in der Zeile Werte doppelt vorkommen. Oder, um genau zu sein, hier sogar je viermal. Da kann es also kein eindeutiges Inverses geben.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
ok, dank dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Do 23.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Nochmal kurze Nachfrage! Ist teil b) denn tatsächlich eine Gruppenstruktur? Weil wenn ich mir die Zeile mit der 2 betrachte, so habe ich doch auch dort doppelt soviele 2 und 0... damit ist die inversenbildung verletzt.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Do 23.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Bodo,
sorry. Na klar, so ist es.
Eine Gruppenstruktur bzgl. der Multiplikation bekommst Du nur bei einer primen Anzahl von Restklassen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Do 23.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
aber es muss doch bei der addition immer das inverse element die 0 vorhanden sein und die werte dürfen sich innerhalb einer zeile und spalte nicht wiederholen, ist das richtig?
bei multiplikation dasselbe wie addition nur das hier das inverse element 1 vertreten sein sollte.
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