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Verknüpfungstafel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:44 Fr 31.08.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für [mm] D_4. [/mm]


Hallo Leute,

ich möchte die Verknüpfungstafel für die Diedergruppe [mm] D_4 [/mm] erstellen.

[mm] D_4=(e, [/mm] d, [mm] d^2, d^3, [/mm] s, sd, [mm] sd^2, sd^3) [/mm]

Ich teile das einfach mal auf in Drehungen und Spiegelungen, erstmal die Drehungen (e lasse ich mal aus, das ist klar):

[mm] \begin{pmatrix} - & d & d^2 & d^3\\ d & d^2 & d^3 & e \\ d^2 & d^3 & e & d\\ d^3 & e & d & d^2 \end{pmatrix} [/mm]

Stimmt das soweit?

Und jetzt mal zu den Spiegelungen

[mm] \begin{pmatrix} - & s & sd & sd^2 & sd^3\\ s & e & d & d^2 & d^3 \\ sd & d^{-1} & e & d & d^2\\ sd^2 & ? & ? & ? & ?\\ sd^3 & ? & ? & ? & ? \end{pmatrix} [/mm]

Stimmt das eingetragene soweit?

Bei den Fragezeichen bin ich etwas verwirrt, bei uns steht [mm] sds=d^{-1}, [/mm] aber wie bekomme ich z.B. $sd^2s=sdds$ heraus?

        
Bezug
Verknüpfungstafel: (da war ein Fehler...)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:06 Fr 31.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für [mm]D_4.[/mm]
>  
> Hallo Leute,
>  
> ich möchte die Verknüpfungstafel für die Diedergruppe
> [mm]D_4[/mm] erstellen.
>  
> [mm]D_4=(e,[/mm] d, [mm]d^2, d^3,[/mm] s, sd, [mm]sd^2, sd^3)[/mm]
>  
> Ich teile das einfach mal auf in Drehungen und
> Spiegelungen, erstmal die Drehungen (e lasse ich mal aus,
> das ist klar):
>  
> [mm]\begin{pmatrix} - & d & d^2 & d^3\\ d & d^2 & d^3 & e \\ d^2 & d^3 & e & d\\ d^3 & e & d & d^2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Stimmt das soweit?

Ja.

> Und jetzt mal zu den Spiegelungen
>  
> [mm]\begin{pmatrix} - & s & sd & sd^2 & sd^3\\ s & e & d & d^2 & d^3 \\ sd & d^{-1} & e & d & d^2\\ sd^2 & ? & ? & ? & ?\\ sd^3 & ? & ? & ? & ? \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Stimmt das eingetragene soweit?

Zur Kontrolle könntest du die Website nutzen, welche
solche Gruppentafeln auf wenige Mausklicks hin
liefert:  []Group Tables

Natürlich könntest (solltest?) du anstatt [mm] d^{-1} [/mm] auch [mm] d^3 [/mm] schreiben.
  

> Bei den Fragezeichen bin ich etwas verwirrt, bei uns steht
> [mm]sds=d^{-1},[/mm] aber wie bekomme ich z.B. [mm]sd^2s=sdds[/mm] heraus?

Die Spiegelung s hat (wenn ich mich da nicht geirrt
habe) die Eigenschaft, dass sie mit jedem Gruppen-
element s kommutiert, d.h. es gilt  

    $\ [mm] s\circ{x}\ [/mm] =\ [mm] x\circ{s}$ [/mm]

für jedes [mm] x\in D_4 [/mm] .
Daraus folgt z.B., dass [mm] sdds=s*(dd*s)=s*(s*dd)=(ss*dd)=e*dd=d^2 [/mm]


Sorry, es scheint, dass ich mich da geirrt habe.

LG    Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Verknüpfungstafel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Fr 31.08.2012
Autor: AntonK

Dann weiß ich Bescheid, danke!

Bezug
                
Bezug
Verknüpfungstafel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Fr 31.08.2012
Autor: AntonK

Demnach wäre auch:

[mm] sd^2=sdd=sds=d^{-1}=d^3 [/mm] oder?

Bezug
                        
Bezug
Verknüpfungstafel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:19 Fr 31.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo AntonK,


> Demnach wäre auch:
>  
> [mm]sd^2=sdd=sds=d^{-1}=d^3[/mm] oder?

Ich kapiere gar nicht so recht, was du da überhaupt machst.

Vllt. habe ich das falsch gelesen oder mir fehlt eine Information ... ?

Ich meine, dass die Diedergruppe [mm]D_4[/mm] doch aus 4 Drehungen (um [mm]90^{\circ}=d_1, 180^{\circ}=d_2, 270^{\circ}=d_3[/mm] und [mm]360^{\circ}=e[/mm] und 4 Geradenspiegelungen [mm]s_1,s_2,s_3,s_4[/mm] besteht.

Also [mm]D_4=\{e,d_1,d_2,d_3,s_1,s_2,s_3,s_4\}[/mm]

Was willst du mit [mm]sd^2[/mm] berechnen?

Welche Drehung und welche Spiegelung sind gemeint?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Verknüpfungstafel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Fr 31.08.2012
Autor: AntonK

So wurde das ganze bei uns definiert, sd ist eine Spieldrehung, ich spiegel erst und drehe dann.

Bezug
                                        
Bezug
Verknüpfungstafel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Fr 31.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> So wurde das ganze bei uns definiert, sd ist eine
> Spieldrehung,

;-)

Nett gesagt!

> ich spiegel erst und drehe dann.

Ohne Bezugsgerade, an der du spiegelst und ohne Winkel, um den du drehst, ist das doch recht sinnfrei ...

So ganz allg. ist [mm]s\circ d^2\neq d^3[/mm]

Setze das mal in Bezug zu der [mm]D_4[/mm].

Mache dir (noch) mal ganz klar, welche Elemente die [mm]D_4[/mm] enthält.

Da steht in deiner ganz oben stehenden Version m.E. ziemlicher Kokolores ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
Verknüpfungstafel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Fr 31.08.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Demnach wäre auch:
>  
> [mm]sd^2=sdd=sds=d^{-1}=d^3[/mm] oder?


Ich finde auch, dass du noch klar stellen solltest,
welche Spiegelung du mit s genau meinst.

In deiner obigen Gleichungskette verstehe ich nicht,
wie du auf sdd=sds und auf [mm] sds=d^{-1} [/mm] kommen
willst.

LG   Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Verknüpfungstafel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Fr 31.08.2012
Autor: AntonK

[mm] sds=d^{-1} [/mm] wurde bei uns im Skript zu definiert, dass dies allgemein gilt für alle n.

sdd=(sd)s=sds habe ich mir zusammen gebastelt, weil du ja meintest Spiegelungen seien kommutativ.

Bezug
                                        
Bezug
Verknüpfungstafel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Fr 31.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> [mm]sds=d^{-1}[/mm] wurde bei uns im Skript zu definiert, dass dies
> allgemein gilt für alle n.
>  
> sdd=(sd)s=sds habe ich mir zusammen gebastelt, weil du ja
> meintest Spiegelungen seien kommutativ.

Wie bastelst du denn das rote s da herein?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Verknüpfungstafel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Fr 31.08.2012
Autor: AntonK

Ich habe keine Ahnung, wie ich auf den Blödsinn komme, habe wohl zu hudelig gearbeitet, sorry, das ist natürlich Schwachsinn, mittlerweile hat sich das ganze aber geklärt, denn:

sdd=dsd=s

Laut unserem Skript, ich denke ich weiß nun Bescheid, sorry für die Aufregung und danke euch!

Bezug
                
Bezug
Verknüpfungstafel: Grund des Irrtums
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:47 Sa 01.09.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Die Spiegelung s hat (wenn ich mich da nicht geirrt
> habe) die Eigenschaft, dass sie mit jedem Gruppen-
> element s kommutiert, d.h. es gilt  
>
> [mm]\ s\circ{x}\ =\ x\circ{s}[/mm]
>
> für jedes [mm]x\in D_4[/mm] .
> Daraus folgt z.B., dass
> [mm]sdds=s*(dd*s)=s*(s*dd)=(ss*dd)=e*dd=d^2[/mm]
>  
> Sorry, es scheint, dass ich mich da geirrt habe.


Hallo,

mir ist nun noch klar geworden, worin ich mich geirrt
habe, nämlich im Begriff "Diedergruppe". Bei der Spie-
gelung s dachte ich nämlich an eine "Spiegelung eines
Quadrates an seiner eigenen Ebene" - wobei aber jeweils
erkennbar bleiben sollte, ob man nun das Quadrat von
seiner "Front-" oder von seiner "Rück"seite sieht.

Auf diese Weise erzeugen eine Elementardrehung d
(90°-Drehung des Quadrates um die zur Quadratebene
senkrecht stehende Achse durch seinen Mittelpunkt)
und diese Spiegelung s nicht die Diedergruppe [mm] D_4, [/mm]
sondern die Gruppe [mm] \IZ_4\times\IZ_2 [/mm] .
In dieser Gruppe [mm] \IZ_4\times\IZ_2 [/mm]  gilt natürlich die oben
angegebene Kommutativitätseigenschaft.

LG   Al-Chw.

Bezug
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