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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mi 21.11.2012 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für zwei Abbildungen f: M [mm] \to [/mm] N und g: N [mm] \to [/mm] O gilt:
a) f,g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f injektiv
c) g [mm] \circ [/mm] f injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv
d) g [mm] \circ [/mm] f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g surjektiv
e) g [mm] \circ [/mm] f injektiv, f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g injektiv
f) g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f surjektiv |
Hallo zusammen,
Diese Aufgabe bereit mir heftige Kopfschmerzen. Ich verliere mich andauernd im durcheinander der Mengen :(. Unser Prof. hat uns eine Musterlösung gezeigt und anhand der hab ich versucht a zu lösungen :
Sei u,z [mm] \in [/mm] O beliebig
-> [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] N g(y)=z und nur ein z, da g injektiv
g(y) [mm] \not= [/mm] u
-> [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M f(x)=y und nur ein y, da f injektiv
-> [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] N , [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M g(y)=z , f(x)=y
-> g(f(x))=z g(f(x)) [mm] \not= [/mm] u
-> ( g [mm] \circ [/mm] f)(x) [mm] \not= [/mm] u , folgich ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv
Ist das verständlich und reicht es, um zu zeigen, dass g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist?
Bei c) hab ich es mit dem selben ansatz versucht, verliere mich aber jedes mal in den Mengen.
Hat jemand vielleicht einen anderen Ansatz oder kann mir zeigen, wie man an sowas systematisch rangehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich glaube du verlierst dich in den Mengen, weil du eine Vielzahl von Variablen einführst. Wenn du mit Indizes arbeitest, verlierst du auch den Überblick nicht. Und [mm] u,z\in{O} [/mm] zu wählen ist einfach nicht sinnvoll.
a)
Sei [mm] F:=g\circ{f}.
[/mm]
Es sei [mm] F(m_1)=F(m_2) [/mm] für [mm] m_1,m_2\in{M},
[/mm]
Somit ist [mm] g(\underbrace{f(m_1)}_{n_1})=g(\underbrace{f(m_2)}_{n_2}), [/mm] mit [mm] n_1,n_2\in{N}.
[/mm]
Wegen Injektivität von $g$ ist [mm] n_1=n_2 [/mm] und folglich wegen Injektivität von $f$ ist [mm] m_1=m_2. [/mm] D.h. jedes Bild bei Abbildung F kann höchstens ein Urbild in A haben. [mm] \Rightarrow [/mm] Injektivität
Vielleicht kommst du ja nun mit obigen Hinweisen ein Stückchen weiter.
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Hallo,
Hab mich an Aufgabe e) rangetraut.
Hier mein Lösungsansatz :
Sei g(y1)=g(y2) y1,y2 [mm] \in [/mm] N
[mm] \exists [/mm] x1,x2 [mm] \in [/mm] M f(x1)=y1 da f surjektiv
f(x2)=y2 da f surjektiv
somit g(f(x1))=g(f(x2)) da g [mm] \circ [/mm] f injektiv
-> x1=x2
abbildung auf f(x1)=f(x2) [mm] \Rightarrow [/mm] y1=y2
->somit ist g injektiv
Könnt ihr das so nachvollziehen oder sollte man anders an die Aufgabe ran gehen?
Gruß wannabe WIW ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 26.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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