Verknüpfung lineare Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Do 18.06.2009 | | Autor: | georgb |
| Aufgabe | folgende lineare Abbildungen sind gegeben:
[mm] f(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+2x_{3} \\ x_{2}+2x_{3}}
[/mm]
[mm] g(\vektor{x_{1} \\ x_{2} }) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}\\ 2x_{1}-2x_{2} \\x_{1}+x_{2} }
[/mm]
[mm] h(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} }) [/mm] = [mm] \vektor{x_{2}-x_{1}\\ 2x_{1}-x_{2} \\x_{3}-x_{2} }
[/mm]
folgendne Verknüpfungen sollen gebildet werden:
[mm] v_{1} [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g
[mm] v_{2} [/mm] = h [mm] \circ [/mm] h
[mm] v_{3} [/mm] = g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] f
[mm] v_{4} [/mm] = f [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g
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Die Verknüpfungen [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] sind mir klar.
Die sehen nach meinen Berechnungen so aus:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{3x_{1}+2x_{2} \\ 4x_{1}}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3x_{1}-2x_{2} \\ -4x_{1}+3x_{2}\\-2x_{1}+x_{3}}
[/mm]
Aber wie berechne ich [mm] v_{3} [/mm] und [mm] v_{4}?
[/mm]
[mm] v_{3}: [/mm] Zuerst g [mm] \circ [/mm] h und dann [mm] \circ [/mm] f ?
[mm] v_{4}: [/mm] Zuerst f [mm] \circ [/mm] h und dann [mm] \circ [/mm] g ?
Oder werden die anders berechnet ?
bzw. können sie überhaupt gebildet werden?
danke für hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Do 18.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> folgende lineare Abbildungen sind gegeben:
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> [mm]f(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})[/mm] = [mm]\vektor{x_{1}+2x_{3} \\ x_{2}+2x_{3}}[/mm]
>
> [mm]g(\vektor{x_{1} \\ x_{2} })[/mm] = [mm]\vektor{x_{1}\\ 2x_{1}-2x_{2} \\x_{1}+x_{2} }[/mm]
>
> [mm]h(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3} })[/mm] = [mm]\vektor{x_{2}-x_{1}\\ 2x_{1}-x_{2} \\x_{3}-x_{2} }[/mm]
>
> folgendne Verknüpfungen sollen gebildet werden:
>
> [mm]v_{1}[/mm] = f [mm]\circ[/mm] g
> [mm]v_{2}[/mm] = h [mm]\circ[/mm] h
> [mm]v_{3}[/mm] = g [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] f
> [mm]v_{4}[/mm] = f [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] g
>
> Die Verknüpfungen [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] sind mir klar.
> Die sehen nach meinen Berechnungen so aus:
>
> [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{3x_{1}+2x_{2} \\ 4x_{1}}[/mm]
> [mm]v_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{3x_{1}-2x_{2} \\ -4x_{1}+3x_{2}\\-2x_{1}+x_{3}}[/mm]
>
Das sieht gut aus.
> Aber wie berechne ich [mm]v_{3}[/mm] und [mm]v_{4}?[/mm]
>
> [mm]v_{3}:[/mm] Zuerst g [mm]\circ[/mm] h und dann [mm]\circ[/mm] f ?
> [mm]v_{4}:[/mm] Zuerst f [mm]\circ[/mm] h und dann [mm]\circ[/mm] g ?
> Oder werden die anders berechnet ?
$ [mm] g\circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] f $
[mm] =g(h(f(\vec{x}))
[/mm]
> bzw. können sie überhaupt gebildet werden?
Dazu müsste man prüfen, ob die Bildvektoren dieselbe Dimension haben, wie die "Eingangsvektoren" der Folgeabbildung.
BSP:
[mm] f:\IR^{3}\to\IR^{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y\\z}\mapsto\vektor{2x+2y+z\\\bruch{xy}{e^{z}}}
[/mm]
[mm] g:\IR^{2}\to\IR^{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y}\mapsto\vektor{2xy\\\wurzel{xy}}
[/mm]
$ f [mm] \circ [/mm] g $ kann man bilden, $ g [mm] \circ [/mm] f $ aber nicht.
>
> danke für hilfe!
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 18.06.2009 | | Autor: | georgb |
$ [mm] =g(h(f(\vec{x})) [/mm] $
kurze Nachfrage:
das heisst z.b bei [mm] v_{3}:
[/mm]
zuerst h [mm] \circ [/mm] f, dass ist nicht möglich also ist g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] f nicht möglich.
[mm] v_{4}:
[/mm]
zuerst h [mm] \circ [/mm] g
[mm] \vektor{x_{1}-2x_{2} \\ 2x_{2} \\ -x_{1}+3x_{2}}
[/mm]
und dann g [mm] \circ [/mm] "mit dem ausgerechneten Vektor"
[mm] \vektor{x_{1}-x_{2} \\ 2x_{1}-8x_{2} \\ -x_{1}+5x_{2}}
[/mm]
richtig?
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Hallo georgb,
> [mm]=g(h(f(\vec{x}))[/mm]
>
> kurze Nachfrage:
>
> das heisst z.b bei [mm]v_{3}:[/mm]
>
> zuerst h [mm]\circ[/mm] f, dass ist nicht möglich also ist g [mm]\circ[/mm] h
> [mm]\circ[/mm] f nicht möglich. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]v_{4}:[/mm]
> zuerst h [mm]\circ[/mm] g
> [mm]\vektor{x_{1}-2x_{2} \\ 2x_{2} \\ -x_{1}+3x_{2}}[/mm]
>
> und dann g [mm]\circ[/mm] "mit dem ausgerechneten Vektor"
Das ist nicht möglich, $g$ hat als Definitionsbereich doch den [mm] $\IR^2$, [/mm] wie willst du da nen Vektor aus [mm] $\IR^3$ [/mm] reinstopfen?
Außerdem steht doch da [mm] $\red{f}\circ (h\circ [/mm] g)$, berechne also [mm] $f\left(\vektor{x_{1}-2x_{2} \\ 2x_{2} \\ -x_{1}+3x_{2}}\right)$
[/mm]
> [mm]\vektor{x_{1}-x_{2} \\ 2x_{1}-8x_{2} \\ -x_{1}+5x_{2}}[/mm]
>
> richtig?
Nein, schreibe mal auf, von wo nach wo denn [mm] $f\circ h\circ [/mm] g$ abbildet. Was ist Definitionsbereich, was Wertebereich?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 25.06.2009 | | Autor: | georgb |
Ich muss meinen eigenen Thread nochmal ausgraben:
Ich überprüfe zuerst die gegeben Funktionen den Definitionsbereich und Wertebereich:
f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2}
[/mm]
g: [mm] \IR^{2} \to \IR^{3}
[/mm]
h: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}
[/mm]
richtig soweit?
Nun habe ich folgende Formel gefunden:
f1: [mm] \IR^{m} \to \IR^{k} \wedge [/mm] f2: [mm] \IR^{k} \to \IR^{n} \Rightarrow [/mm] f2 [mm] \circ [/mm] f1: [mm] \IR^{m} \to \IR^{n}
[/mm]
wobei folgendes gilt: (f2 [mm] \circ [/mm] f1)(x) =f2(f1(x))
Jetzt wende ich das auf meine Verkettungen an:
f [mm] \circ [/mm] g: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] kann gebildet werden
h [mm] \circ [/mm] h: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] kann gebildet werden
g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] f zuerst h [mm] \circ [/mm] f:
[mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] sollte gebildet werden können:
wenn ich das jetzt aber tätsächlich machen will gehts aber nicht, weil ich in f ja kein x³ habe welches ich in h einsetzen kann.
Wo liegt mein Denkfehler?
danke für hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 25.06.2009 | | Autor: | georgb |
Ok danke eine Frage hätt ich noch:
(Diese doppelte Verkettung will einfach nicht in meinen Kopf):
nach dieser Logik ist also g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] f gar nicht möglich, da h [mm] \circ [/mm] f nicht gebildet werden kann.
Jetzt hab ich aber gelesen, dass man das auch so rechnen kann zuerst (g [mm] \circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] f
und eigentlich sollte, dass gleiche rauskommen (d.h. "nicht möglich).
Jetzt kann ich aber sowohl g [mm] \circ [/mm] h bilden als auch dann das Ergebnis als Ausgangspunkt für die Verkettung mit f nehmen.
Wie ist das möglich?
(Oder kapier ichs einfach nicht  )
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Hallo nochmal,
> Ok danke eine Frage hätt ich noch:
> (Diese doppelte Verkettung will einfach nicht in meinen
> Kopf):
>
> nach dieser Logik ist also g [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] f gar nicht
> möglich, da h [mm]\circ[/mm] f nicht gebildet werden kann.
>
> Jetzt hab ich aber gelesen, dass man das auch so rechnen
> kann zuerst (g [mm]\circ[/mm] h) [mm]\circ[/mm] f
Ja, die Verkettung von Funktionen ist assoziativ
>
> und eigentlich sollte, dass gleiche rauskommen (d.h. "nicht
> möglich).
Es wäre schlimm, wenn nicht!
> Jetzt kann ich aber sowohl g [mm]\circ[/mm] h bilden
Ach was? Wie denn, rechne das mal vor, da bin ich aber gespannt ...
Mache dir klar, dass man [mm] $g\circ [/mm] h$ liest als "g nach h", du wendest zuerst h an, dann g.
h bildet ab von [mm] $\IR^3\to\IR^3$
[/mm]
Und einen "Zielvektor", also einen [mm] $\in\IR^3$ [/mm] willst du in $g$ reinstopfen, aber g hat als Defbereich den [mm] $\IR^2$
[/mm]
> als auch dann
> das Ergebnis als Ausgangspunkt für die Verkettung mit f
> nehmen.
> Wie ist das möglich?
>
> (Oder kapier ichs einfach nicht )
Entknote dein Hirn
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 25.06.2009 | | Autor: | georgb |
ich hätts so gemacht (nicht ausgerechnet, nur eingesetzt )
[mm] \vektor{x_{2}-x_{1} \\ 2(x_{2} -x_{1})-(2x_{1}-x_{2}) \\ x_{2}-x_{1}+2x_{1}-x_{2}} [/mm]
aber ich denke, dass ich die letzte Zeile von h nicht unter den Tisch fallen lassen darf.
Ich schätzte, ich muss mir merken, dass höhere nach niedrigere Dimension (und vice versa), mal gar nicht geht und selbst wenn es in die gleiche Dimension geht (siehe h [mm] \circ [/mm] f) nicht immer funktionieren kann
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Hallo nochmal,
> ich hätts so gemacht (nicht ausgerechnet, nur eingesetzt )
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> [mm]\vektor{x_{2}-x_{1} \\ 2(x_{2} -x_{1})-(2x_{1}-x_{2}) \\ x_{2}-x_{1}+2x_{1}-x_{2}}[/mm]
Ja, das ist Murks, hast du ja selber schon gemerkt ...
>
>
> aber ich denke, dass ich die letzte Zeile von h nicht unter
> den Tisch fallen lassen darf.
Ja, der Zielbereich" der zuerst angewandten Funktion und der Def.bereich der danach angewandten Funktion müssen schon "verträglich" sein, hier: dieselbe Dimension haben
>
> Ich schätzte, ich muss mir merken, dass höhere nach
> niedrigere Dimension (und vice versa), mal gar nicht geht
> und selbst wenn es in die gleiche Dimension geht (siehe h
> [mm]\circ[/mm] f) nicht immer funktionieren kann
Kontrollfrage: Klappt's denn mit der letzten Verknüpfung, also mit [mm] $f\circ h\circ [/mm] g$ und wenn ja, von wo nach wo bildet das ab?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Do 25.06.2009 | | Autor: | georgb |
f [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g
(f [mm] \circ [/mm] h) =x= [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] ok
x [mm] \circ [/mm] g = [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] ok
bzw.
(h [mm] \circ [/mm] g)=x= [mm] \IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] ok, da verträglich
f [mm] \circ [/mm] x = [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] ok
egal, wie ichs rechne es kommt das gleiche raus:
[mm] \vektor{-x_{1}+4x_{2} \\ -2x_{1}+8x_{2}}
[/mm]
ich denke, jetzt hab ichs!
Vielen, vielen dank!
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