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Verkettung von Potenzreihen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 26.11.2019
Autor: Peter_Pan2

Hallo liebes Forum,

ich komme seit mehr als einem Jahr immer wieder zu der Frage zurück,
wie man die Konvergenz einer Verkettung von Potenzreihen beweist. Die
Fragestellung ist z. B. in Aufgabe 66.5 in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1 beschrieben.

Kann mir jemand eine Beweisidee geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann oder vielleicht eine Literaturstelle angeben, wo ich ihn selbst nachlesen kann?
Ich habe gelesen, dass man mit Cauchy-Produkten arbeiten soll, aber wie genau ist mir schleierhaft.

Vielen Dank im Voraus und einen schönen Abend,

Christoph


        
Bezug
Verkettung von Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Di 26.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Fragestellung ist z. B. in Aufgabe 66.5 in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1 beschrieben.

Na "beschrieben" ist untertrieben. Dort steht ja auch, wie man es beweist.
  

> Kann mir jemand eine Beweisidee geben, wie ich diese
> Aufgabe lösen kann oder vielleicht eine Literaturstelle
> angeben, wo ich ihn selbst nachlesen kann?

Aufgabe 66.5 in Harro Heusers Lehrbuch der Analysis Teil 1

> Ich habe gelesen, dass man mit Cauchy-Produkten arbeiten soll, aber wie genau ist mir schleierhaft.

Es steht ja eigentlich alles da:

Sei $f(x) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ [/mm] und $F(y) = [mm] \sum_{k=0}^\infty b_ky^k$ [/mm]

Dann ist formal nach Einsetzen erstmal:

$F(f(x)) =  [mm] \sum_{k=0}^\infty b_k\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^k$ [/mm]

Wenn man das nun auf eine Potenzreihenform bringen will, sollte das am Ende eine Darstellung haben der Form:

$F(f(x)) = [mm] \sum_{k=0}^\infty c_k x^k$ [/mm]

Dazu betrachten wir mal obige enthaltene Ausdrücke der Form [mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^k$ [/mm]

Der Hinweis beinhaltet ja bereits, dass die Anwendung der []Cauchy-Produktformel zum Ziel führt.

Wie sehen denn nach Anwendung der Cauchy-Produktformel folgende Ausdrücke aus:

[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^2 [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]

[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^3 [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]

[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^4 [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]

.
.
.

[mm] $\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^k [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]

Gruß,
Gono





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