Verkettung von Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Di 07.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Seien f: [mm] \IR \to \IR^{3} [/mm] , g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] , h: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=(1;x;x^{2}) [/mm] ; [mm] g(y_{1};y_{2};y_{3})=(sin(y_{1})-cos(y_{2});e^{y_{3}}) [/mm] ; [mm] h(z_{1};z_{2})=z_{1}*z_{2}
[/mm]
Berechnen Sie die Ableitung von h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f : [mm] \IR \to \IR [/mm] einmal mit Hilfe der Kettenregel sowie ein zweites Mal durch direktes Ableiten. |
So, bei dieser Aufgabe bin ich mir doch sehr unsicher. Daher wollte ich mal meine Idee posten und nach gegeben Denkfehlern überprüfen lassen.
Also erstes habe ich die einzelnen Ableitungen gebildet.
[mm] \bruch{d}{dx}f(x)=(0;1;2x)
[/mm]
sei [mm] u:=(y_{1};y_{2};y_{3})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial y_{1}}g(u)=(cos(y_{1});0) [/mm] ; [mm] \bruch{\partial g}{\partial y_{2}}g(u)=(sin(y_{2});0) [/mm] ; [mm] \bruch{\partial g}{\partial y_{3}}g(u)=(0;e^{y_{3}})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial h}{\partial z_{1}}h(z_{1};z_{2})=z_{2} [/mm] ; [mm] \bruch{\partial h}{\partial z_{1}}h(z_{1};z_{2})=z_{1}
[/mm]
D( g [mm] \circ [/mm] f [mm] )=(0*cos(y_{1})+1*sin(y_{2})+0*e^{y_{3}};0*0+0*1+2x*e^{y_{3}})=(sin(y_{2});2x*e^{y_{3}})
[/mm]
D( h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f [mm] )=z_{2}*sin(y_{2})+z_{1}*2x*e^{y_{3}}
[/mm]
Das dürfte doch die direkte Art des Ableitens sein, oder?
Jetzt müsste ich das alles noch mit der Kettenregel machen, was wesentlich kürzer sein sollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Di 07.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Das passt nicht ganz.
Du hast [mm]h\circ g\circ f[/mm] falsch berechnet
Es gilt, mit dem Startwert x:
[mm]x\stackrel{f}{\mapsto}\vektor{1\\x\\x^{2}}\stackrel{g}{\mapsto}\vektor{\sin(1)-\cos(x)\\e^{x^{2}}}\stackrel{h}{\mapsto}(\sin(1)-\cos(x))\cdot e^{x^{2}}[/mm]
Nun berechne (mit der ketten- und Produktregel) dann
[mm] \left(\sin(1)-\cos(x)\\e^{x^{2}}\right)^{'}
[/mm]
Für die Ableitung "ohne Zusammenfassen" musst du die mehrfache Kettenregel anwenden. Das ist hier deutlich umfangreicher, da dabei mehrere Variablen auftauchen.
Marius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:20 Di 07.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
Hallo Marius,
danke erstmal für die schnelle Antwort. Okay, dass mit der Ketten- und Produktregel hätte ich dann auch so gemacht, ist ja nicht sonderlich schwer.
[mm] \bruch{d}{dx}h(g(f(x)))=sin(x)*e^{x^{2}}+2x*e^{x^{2}}*(sin(1)-cos(x))=e^{x^{2}}*(sin(x)-cos(x)+sin(1))
[/mm]
Nun zu der direkten Art. Ich hätte eigentlich gedacht, dass es so funktioniert, wie ich es versucht habe, doch scheine ich mich dabei schon verrechnet zu haben. Dann werde ich mal nachdem Fehler suchen.
Gruß
Ardbeg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 09.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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