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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Betrachten Sie die lineare Abbildung f: R3-->R3
f(a,b,c)-->(3a+b-3c, 2b, 3a+2b-3c)
Bestimmen Sie die Zuordnungsvorschrift, welche die Abbildung f o f beschreibt und berechnen Sie ker(f o f) und im(f o f)
b) Es seien V ein reeller Vektorraum und g: V-->V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie die Inklusionen ker(g) [mm] \subseteq [/mm] ker(g o g) und im(g o g) [mm] \subseteq [/mm] im(g) |
Meine Lösung:
a) (f o f)(a,b,c) = f(f(a,b,c) = f(3a+b-3c, 2b, 3a+2b-3c)
=[3(3a+b-3c)+2b-3(3a+2b-3c), 2(2b), 3(3a+b-3c)+2(2b)-3(3a+2b-3c)]
ker(f o f) = (a,0,a) mit a [mm] \in [/mm] R = < (1,0,1)>
im(f o f) = <(3,4,6), (1,0,1)>
b)
ker(g) ist gleich alle v [mm] \in [/mm] V für die gilt v-->0, also g(v)=0. ker(g o g) ist gleich alle v [mm] \in [/mm] V für die gilt g(g(v))=0. Für alle v [mm] \in [/mm] ker(g) gilt deshalb g(g(v))= g(0) = 0 wegen Linearität, also sind alle v [mm] \in [/mm] ker(g) auch [mm] \in [/mm] ker(g o g) und ker(g) [mm] \subseteq [/mm] ker(g o g)
im(f) = f(v) = D [mm] \subseteq [/mm] V mit v [mm] \in [/mm] V
im(f o f) = f(f(v)) = f(d) = X [mm] \subseteq [/mm] V nach Def. der Funktion, da d [mm] \in [/mm] D [mm] \subseteq [/mm] V . Also ist jedes Element von im(f o f) auch Element von im(f) weil jedes Element d [mm] \in [/mm] D auch Element von V ist und im(f) = f(v) mit v [mm] \in [/mm] V
Beim Bild in b) bin ich mir nicht sicher wie ich das schreiben soll. Klingt so irgendwie nen bisschen konfus oder geht das so?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Betrachten Sie die lineare Abbildung f: R3-->R3
>
> f(a,b,c)-->(3a+b-3c, 2b, 3a+2b-3c)
>
> Bestimmen Sie die Zuordnungsvorschrift, welche die
> Abbildung f o f beschreibt und berechnen Sie ker(f o f) und
> im(f o f)
>
> b) Es seien V ein reeller Vektorraum und g: V-->V eine
> lineare Abbildung. Zeigen Sie die Inklusionen ker(g)
> [mm]\subseteq[/mm] ker(g o g) und im(g o g) [mm]\subseteq[/mm] im(g)
> Meine Lösung:
>
> a) (f o f)(a,b,c) = f(f(a,b,c) = f(3a+b-3c, 2b, 3a+2b-3c)
>
> =[3(3a+b-3c)+2b-3(3a+2b-3c), 2(2b),
> 3(3a+b-3c)+2(2b)-3(3a+2b-3c)]
= ...
soweit ist es richtig, aber das solltest du auf jeden Fall zusammenfassen.
>
> ker(f o f) = (a,0,a) mit a [mm]\in[/mm] R = < (1,0,1)>
Dies ist zwar ein Teil von ker f, aber ker f ist zweidimensional.
>
> im(f o f) = <(3,4,6), (1,0,1)>
Wie kommst du darauf ? Das ist falsch. im f ist eindimensional. Das hättest du leicht gesehen, wenn du oben zusammengefasst hättest.
>
> b)
> ker(g) ist gleich alle v [mm]\in[/mm] V für die gilt v-->0, also
> g(v)=0. ker(g o g) ist gleich alle v [mm]\in[/mm] V für die gilt
> g(g(v))=0. Für alle v [mm]\in[/mm] ker(g) gilt deshalb g(g(v))=
> g(0) = 0 wegen Linearität, also sind alle v [mm]\in[/mm] ker(g)
> auch [mm]\in[/mm] ker(g o g) und ker(g) [mm]\subseteq[/mm] ker(g o g)
>
stimmt.
> im(f) = f(v) = D [mm]\subseteq[/mm] V mit v [mm]\in[/mm] V
> im(f o f) = f(f(v)) = f(d) = X [mm]\subseteq[/mm] V nach Def. der
> Funktion, da d [mm]\in[/mm] D [mm]\subseteq[/mm] V . Also ist jedes Element
> von im(f o f) auch Element von im(f) weil jedes Element d
> [mm]\in[/mm] D auch Element von V ist und im(f) = f(v) mit v [mm]\in[/mm] V
>
> Beim Bild in b) bin ich mir nicht sicher wie ich das
> schreiben soll. Klingt so irgendwie nen bisschen konfus
> oder geht das so?
>
> Vielen Dank!
Nein, das geht nicht so.
Die erste Zeile macht schon keinen Sinn. Bei "im(f) = f(v)" steht z.B. links eine Menge, rechts ein Vektor. Du solltest schreiben im(f) = {f(v) | v [mm] \in [/mm] V} oder im(f)={u | [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V : f(v) = u}.
Entsprechend $ [mm] im(f\circ [/mm] f) $ = {f(f(v)) | v [mm] \in [/mm] V} = {w | [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V : f(f(v)) = w} . So wird die Inklusion mit u = f(v) deutlich.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Vielen Dank schonmal. Wenn ich ausmultipliziere komme ich auf (-b, 4b, b)
Also ist ker(f o f)= (a,0,c) mit a,c [mm] \in [/mm] R = < (1,0,1),(1,0,0)>?
im(f o f) wäre dann = <(-1,4,1)>?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Vielen Dank schonmal. Wenn ich ausmultipliziere komme ich auf (-b, 4b, b)
> Also ist ker(f o f)= { (a,0,c) } mit a,c [mm]\in[/mm] R
> = < (1,0,1),(1,0,0)>?
> im(f o f) wäre dann = <(-1,4,1)>?
So ist es.
Gruß Sax.
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