Verkettung, injektiv/surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien U,V und W reelle Vektorräume und f: U--> V g: V-->W lineare Abbildungen.
a) Beweisen Sie dass die Hintereinanderausführung g o f: U-->W
gegeben durch u-->g(f(u)) mit u [mm] \in [/mm] U ebenfalls eine lineare Abbildung ist.
b)Zeigen Sie, dass g o f genau dann injektiv ist, wenn sowohl f als auch g injektiv sind.
Gilt die gleiche Äquivalenz für die Surjektivität? Formulieren Sie eine entsprechende
Behauptung und beweisen Sie diese. |
Meine Lösung:
a) (g o f) (au+bv) mit v [mm] \in [/mm] V und a.b [mm] \in [/mm] R
= g(f(au+bv)) = g(af(u)+bf(v)) = ag(f(u)) + bg(f(v))
= a(g o f)(u)+b(g o f)(v)
b) Es seien f,g injektiv sowie [mm] u_{1}, u_{2} \in [/mm] U mit (g o [mm] f)(u_{1})=(g [/mm] o [mm] f)(u_{2}). [/mm] Nach Def. gilt dann [mm] g(f(u_{1}))=g(f(u_{2})). [/mm] Da g injektiv ist folgt:
[mm] f(u_{1})= f(u_{2}). [/mm] Da f injektiv ist folgt [mm] u_{1}=u_{2} [/mm] und g o f ist injektiv.
Andere Richtung: Wenn g o f injektiv, ist auch f injektiv denn wäre f nicht injektiv dann gäbe es [mm] u_{1}, u_{2} \in [/mm] U mit [mm] u_{1} \not= u_{2} [/mm] und [mm] f(u_{1})=f(u_{2}) [/mm] Folglich: (g o f) [mm] (u_{1})= g(f(u_{1})) [/mm] = [mm] g(f(u_{2}))=
[/mm]
(g o [mm] f)(u_{2}) [/mm] => g o f ist nicht injektiv , Widerspruch zur Vorraussetzung.
Mein Problem: Wie zeige ich jetzt dass für lineare Abbildungen auch g injektiv sein muss, wenn g o f und f injektiv sind, für Abbildungen im Allgemeinen gilt das ja nicht? Bis zu diesem Schritt gilt die Aussage auch für Surjektivität, g ist wiederum im Allgemeinen nicht notwendigerweise surjektiv, aber bei linearen Abbildungen schon?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Es seien U,V und W reelle Vektorräume und f: U--> V g:
> V-->W lineare Abbildungen.
> a) Beweisen Sie dass die Hintereinanderausführung g o f:
> U-->W
> gegeben durch u-->g(f(u)) mit u [mm]\in[/mm] U ebenfalls eine
> lineare Abbildung ist.
>
> b)Zeigen Sie, dass g o f genau dann injektiv ist, wenn
> sowohl f als auch g injektiv sind.
> Gilt die gleiche Äquivalenz für die Surjektivität?
> Formulieren Sie eine entsprechende
> Behauptung und beweisen Sie diese.
> Meine Lösung:
> a) (g o f) (au+bv) mit v [mm]\in[/mm] V und a.b [mm]\in[/mm] R
Du meinst : u,v [mm] \in [/mm] U
>
> = g(f(au+bv)) = g(af(u)+bf(v)) = ag(f(u)) + bg(f(v))
> = a(g o f)(u)+b(g o f)(v)
perfekt.
>
> b) Es seien f,g injektiv sowie [mm]u_{1}, u_{2} \in[/mm] U mit (g o
> [mm]f)(u_{1})=(g[/mm] o [mm]f)(u_{2}).[/mm] Nach Def. gilt dann
> [mm]g(f(u_{1}))=g(f(u_{2})).[/mm] Da g injektiv ist folgt:
> [mm]f(u_{1})= f(u_{2}).[/mm] Da f injektiv ist folgt [mm]u_{1}=u_{2}[/mm]
> und g o f ist injektiv.
>
einwandfrei.
> Andere Richtung: Wenn g o f injektiv, ist auch f injektiv
> denn wäre f nicht injektiv dann gäbe es [mm]u_{1}, u_{2} \in[/mm]
> U mit [mm]u_{1} \not= u_{2}[/mm] und [mm]f(u_{1})=f(u_{2})[/mm] Folglich: (g
> o f) [mm](u_{1})= g(f(u_{1}))[/mm] = [mm]g(f(u_{2}))=[/mm]
> (g o [mm]f)(u_{2})[/mm] => g o f ist nicht injektiv , Widerspruch
> zur Vorraussetzung.
so ist es.
>
> Mein Problem: Wie zeige ich jetzt dass für lineare
> Abbildungen auch g injektiv sein muss, wenn g o f und f
> injektiv sind, für Abbildungen im Allgemeinen gilt das ja
> nicht? Bis zu diesem Schritt gilt die Aussage auch für
> Surjektivität, g ist wiederum im Allgemeinen nicht
> notwendigerweise surjektiv, aber bei linearen Abbildungen
> schon?
>
Dass du keinen Beweis findest, liegt daran, dass es keinen gibt.
Für U = [mm] \IR, [/mm] V = [mm] \IR^2, [/mm] W = [mm] \IR [/mm] und f : x [mm] \mapsto [/mm] (x,0) , g : (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x wird $ [mm] g\circ [/mm] f $ : x [mm] \mapsto [/mm] x sicher injektiv, ohne dass dies für g zuträfe.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Cccya |
Also ist die Aufgabe falsch gestellt? Weil "genau dann" bedeutet doch eigentlich dass auch g immer injektiv sein muss wenn g o f injektiv ist?
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> Also ist die Aufgabe falsch gestellt?
Hallo,
ja. Das, was Du zeigen sollst, kann man nicht zeigen, weil es nicht stimmt.
> Weil "genau dann"
> bedeutet doch eigentlich dass auch g immer injektiv sein
> muss wenn g o f injektiv ist?
Ja, Du sollst lt. Aufgabenstellung zeigen, daß aus [mm] g\circ [/mm] f injektiv folgt, daß g und f beide injektiv sind.
Daß dies nicht funktioniert, zeigt das Gegeneispiel.
LG Angela
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