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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 23.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Funktionen f [mm] $\circ$ [/mm] g und g [mm] $\circ$ [/mm] f und ihre Definitionsbereiche.
a) [mm] $g(x)=\wurzel{x}$ [/mm] $f(x)= [mm] x^4+1$
[/mm]
b) [mm] $g(x)=\bruch{1}{x}$ [/mm] $f(x)= [mm] \bruch{1}{x²+1}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung:
a)
(f [mm] $\circ$ [/mm] g)(x); f(g(x))
[mm] $f(\wurzel{x}) [/mm] = [mm] (\wurzel{x})^4 [/mm] + 1$ für x $ [mm] \ge [/mm] $ 0
(g [mm] $\circ$ [/mm] f)(x); g(f(x))
[mm] $g(x^4+1) [/mm] = [mm] \wurzel{x^4+1}$ [/mm] für alle x $ [mm] \subset [/mm] $ IR
b)
(f [mm] $\circ$ [/mm] g); f(g(x))
[mm] $f(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(\bruch{1}{x})²+1}$
[/mm]
als Lösung kommt [mm] $\bruch{x²}{x²+1}$ [/mm] raus, wie kommen die darauf?
(g [mm] $\circ$ [/mm] f); g(f(x))
[mm] $g(\bruch{1}{x²+1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x²+1}} [/mm] = [mm] \bruch{x²+1}{1}$ [/mm] = x²+1
Vielen Dank im Voraus.
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Die a) hast du richtig.
Zur b):
Im Nenner kannst du das hier machen:
[mm] $\frac{1}{x^2}+1=\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}=\frac{1+x^2}{x^2}$ [/mm] Naja, und dann steht da eben der Kehrwert von dem ganzen.
Aber achtung! x=0 darfst du vor der Umformung nicht einsetzen, nach der Umformung schon. Das ist ne hebbare Lücke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Do 25.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Funktion h = f [mm] $\circ$ [/mm] g und ihren Definitionsbereich für
[mm] $f(x)=\wurzel{2x-1}$ [/mm] mit x [mm] $\ge$ [/mm] 0,5 und g(x)=sin x mit 0 [mm] $\le$ [/mm] x [mm] $\le$ 2$\pi$ [/mm] |
Hallo,
h = f [mm] $\circ$ [/mm] g
[mm] $f(x)=\wurzel{2x-1}$ [/mm] mit x [mm] $\ge$ [/mm] 0,5
g(x)=sin x mit 0 [mm] $\le$ [/mm] x [mm] $\le$ 2$\pi$
[/mm]
h = f(g(x))
h = f(sin x)
$h = [mm] \wurzel{2 sin x -1}$
[/mm]
Soweit müsste es stimmen? Nun zum Defintionsbereich. Bei f(x) ist dieser x [mm] $\ge$ [/mm] 0,5 aber bei g(x) ist dieser 0 [mm] $\le$ [/mm] x [mm] $\le$ 2$\pi$. [/mm] Somit liegt nicht die komplette Wertemenge von f(x) im Definitionsbereich von g(x). Der Definitionsbereich muss eingegrenzt werden, und zwar so dass die komplette Wertemenge der einen Funktion im Definitionsbereich der anderen Funktion liegt. Also so: 0,5 [mm] $\le$ [/mm] x [mm] $\le$ 2$\pi$? [/mm] Dann würde es doch passen, weil f(x) kleiner 0,5 nicht definiert ist und g(x) nicht für Funktionswerte die größer als [mm] 2$\pi$ [/mm] sind. Vielen Dank im Voraus.
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Hallo itse!
Du hast hier einen kleinen gedanklichen Verdreher: für die Funktion $h \ := \ [mm] f\circ [/mm] g$ bzw. dessen Definitionsbereich muss gelten:
[mm] $$\sin(x) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0.5$$
Da $g_$ aber hier lediglich auf $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2\pi$ [/mm] definiert ist, muss die o.g. Ungleichung auch nur in diesem Intervall betrachtet werden.
Damit sollte sich also folgendes Intervall (= Gesamtdefinitionsbereich für $h_$ ) ergeben:
[mm] $$\bruch{1}{6}*\pi [/mm] \ [mm] \le [/mm] x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{5}{6}*\pi$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 25.10.2007 | | Autor: | itse |
Danke für die Antwort.
> Hallo itse!
>
>
> Du hast hier einen kleinen gedanklichen Verdreher: für die
> Funktion [mm]h \ := \ f\circ g[/mm] bzw. dessen Definitionsbereich
> muss gelten:
>
> [mm]\sin(x) \ \ge \ 0.5[/mm]
Ich habs leider umgedreht.
> Da [mm]g_[/mm] aber hier lediglich auf [mm]0 \ \le \ x \ \le \ 2\pi[/mm]
> definiert ist, muss die o.g. Ungleichung auch nur in diesem
> Intervall betrachtet werden.
>
> Damit sollte sich also folgendes Intervall (=
> Gesamtdefinitionsbereich für [mm]h_[/mm] ) ergeben:
> [mm]\bruch{1}{6}*\pi \ \le x \ \le \ \bruch{5}{6}*\pi[/mm]
Wie kommst du den auf [mm]\bruch{1}{6}*\pi \ \le x \ \le \ \bruch{5}{6}*\pi[/mm]? x darf nicht kleiner 0,5 sein und darf auch nicht größer als [mm] 2$\pi$ [/mm] sein. Somit muss man, diese beiden Definitionsbereiche [mm]\sin(x) \ \ge \ 0.5[/mm] und [mm]0 \ \le \ x \ \le \ 2\pi[/mm] anpassen, dass dies auf die neue verkettete Funktion passt.
So kann man es wahrscheinlich nicht schreiben: 0,5 [mm] $\ge$ [/mm] x [mm] $\le$ 2$\pi$?
[/mm]
Stimmt meine Verkettung der Funktion überhaupt?
$ h = [mm] \wurzel{2 sin x -1} [/mm] $
Vielen Dank nochmals.
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Hallo, deine Verkettung [mm] \wurzel{2sin(x)-1} [/mm] ist richtig, es muß gelten: 2sin(x)-1 [mm] \ge [/mm] 0, beachte die Wurzel, zeichne dir die Sinusfunktion, dann eine Parallele zur x-Achse bei y=0,5, du darfst nur den Teil der Sinusfunktion betrachten, der oberhalb der Parallele liegt, jetzt kennst du [mm] sin(30^{0}) [/mm] und [mm] sin(150^{0}) [/mm] betragen 0,5, oder im Bogenmaß [mm] \bruch{\pi}{6} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{5 \pi}{6} [/mm] und jetzt berechne mal [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] und [mm] \bruch{5 \pi}{6} [/mm] ist ja wohl kleiner als [mm] 2\pi
[/mm]
Steffi
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