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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Di 02.02.2010 | | Autor: | manolya |
| Aufgabe | [mm] \lim_{x \to \infty} 18*arctan*\bruch{x}{3}
[/mm]
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Morgen :)
wie bestimmte ich das Grenzwertverhalten dieser Funktion??
Danke im Voraus
Gruß
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Huhu,
also entweder weisst du, dass
[mm] $\lim_{x\to\infty} \arctan(x) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] ist, oder du zeigst halt in einzelnen Schritten:
1.) [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ist monoton steigend
2.) [mm] $\sup_{x\in\IR}(\arctan(x)) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 02.02.2010 | | Autor: | manolya |
Ich stehe auf 'm Schlauch... also die oben genannten Schritte sind doch für das "normale" arctan... wie kann ich das auf meine Fkt beziehen.. ich muss ja auf 18 bzw. x/3 beachten ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Di 02.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich stehe auf 'm Schlauch... also die oben genannten
> Schritte sind doch für das "normale" arctan... wie kann
> ich das auf meine Fkt beziehen.. ich muss ja auf 18 bzw.
> x/3 beachten ???
Na, den Faktor 18 darfst du doch vor den Limes ziehen. Und was ändert der Faktor $1/3$ am Grenzwert?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Di 02.02.2010 | | Autor: | manolya |
Der Wert 1/3 bewirkt, dass die Funktion steiler verläuft... oder?
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Hallo,
> Der Wert 1/3 bewirkt, dass die Funktion steiler
> verläuft... oder?
Nein, sie verläuft dadurch "flacher". Wenn ich in arctan(x) den Wert a eingesetzt habe und dadurch arctan(a) = b erhalten habe, muss ich bei arctan(x/3) das Dreifache des vorher eingesetzten Wertes a, also 3a einsetzen, damit ich wieder b erhalte: arctan(3a/3) = arctan(a) = b.
Das bedeutet, die Funktion wird um den Faktor 3 entlang der x-Achse gestreckt (ausgehend vom Koordinatenursprung).
Das hat aber alles nichts mit dem Grenzverhalten zu tun!
Die Funktion wird ja nur entlang der x-Achse gestreckt, nicht aber entlang der y-Achse!
Das bedeutet, dass die Funktion arctan(x/3), "wenn ich nur lange genug warte, d.h. statt a eben 3a einsetze", für [mm] x\to\infty [/mm] immer noch jeden Wert erreicht wie vorher arctan(x).
Deswegen gilt [mm] $\lim_{x\to\infty}arctan(x/3) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}arctan(x) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}.$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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