www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Vergleichssatz
Vergleichssatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vergleichssatz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mo 28.08.2017
Autor: Kruemelmonster2

Aufgabe
Überprüfen Sie, ob die Lösung $x$ des Anfangswertproblems [mm] $\dot{x}=x(x+1)(x+2); [/mm] x(0)=1$ einen Blow-up in endlicher positiver Zeit hat.

Die Lösung des Dozenten sah folgendermaßen aus und ich verstehe dort einige Sachen nicht ganz. In einer Übung haben wir gezeigt, dass die DGL [mm] $\dot{x}=x^{\alpha}$ [/mm] für [mm] $\alpha>1$ [/mm] einen Blow-up hat.

Dies wollten wir in der Lösung verwenden indem wir den Vergleichssatz anwenden. Wir müssen also nur noch (1) zeigen und hätten dann nach dem Vergleichssatzt das x(t)>=y(t) ist womit nach (2) alles gezeigt wäre.

1) x(t) ist Oberlösung zum Anfangswertproblem [mm] $\dot{y}=y^3, [/mm] y(0)=1$.

Dafür müssen wir zeigen, dass [mm] $\dot{x}\geq x^3(t)$ [/mm] [Das ist ja einfach die Definition einer Oberlösung]. Aus der DGL erhalten wir, dass $x(t)>0 [mm] \quad \forall [/mm] t>0$ [Warum?].  

Und genau hier hänge ich. Wieso erhalten wir das aus der DGL?
Wir wissen, dass x(0)=1. Unsere Funktion startet also bei einem positiven Wert. Klar ist, dass es dann auch ein Intervall $I$ gibt, in dem die Funktion positiv ist (es handelt sich ja um eine Stetige Funktion). Dann würde für die [mm] $t\in [/mm] I$ gelten, dass [mm] $\dot{x}\geq [/mm] 0$. Auf dem Intervall ist die Funktion also monoton steigend (evtl. sogar streng monoton). Wieso aber sollte das für alle $t>0$ gelten? Ich kenne ja meine Lösungsfunktion nicht.

Nun folgerten wir daraus:
[mm] $\Rightarrow \dot{x}=x(t)(x(t)+1)(x(t)+2)\geq x^3(t)$. [/mm] Damit wäre also gezeigt, dass x(t) eine Oberlösung ist.

Da aus der Übung bekannt ist, dass [mm] $\dot{y}=y^3$ [/mm] einen Blow-up in endlicher Zeit hat muss also auch unser x(t) einen Blow-up in endlicher positiver Zeit haben.

Damit ist die Aufgabe gelöst.

Es wäre wirklich nett wenn mir jemand erklären könnte warum $x(t)>0$ für alle $t>0$ gelten sollte. Der Dozent meinte es wäre trivial aber ich sehe das einfach nicht :/

LG. Krümmelmonster

        
Bezug
Vergleichssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 28.08.2017
Autor: leduart

Hallo
nimm an, die fkt ist bis t=d steigend, daraus folgt x(d)>1 und damit wieder das Produkt >1 usw du kannst ja auch die rechte Seite ausmultiplizieren, dann steht da [mm] x^3+ ax^2+bx+c [/mm] . a,b,c>0 also ist [mm] x^3 [/mm] für alle x : [mm] x^3< x^3+ ax^2+bx+c [/mm] . a,b,c>0
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Vergleichssatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Mo 28.08.2017
Autor: Kruemelmonster2


> Hallo
>  nimm an, die fkt ist bis t=d steigend, daraus folgt x(d)>1
> und damit wieder das Produkt >1 usw du kannst ja auch die
> rechte Seite ausmultiplizieren, dann steht da [mm]x^3+ ax^2+bx+c[/mm]
> . a,b,c>0 also ist [mm]x^3[/mm] für alle x : [mm]x^3< x^3+ ax^2+bx+c[/mm] .
> a,b,c>0
>  Gruß leduart  

Vielen dank erstmal für deine schnelle Hilfe, aber ich muss zugeben das ich immer noch nicht ganz verstanden habe. Das dies für ein bestimmtes $d$ gilt kann ich auch noch nachvollziehen aber in meiner DGL stehen ja Lösungsfunktionen:

[mm] $\dot{x}=x(t)*(x(t)+1)(x(t)+2)$ [/mm]

Die Abschätzung gilt aber ja nur wenn $x(t)>0$ ist für alle $t>0$. Aber mir ist die Lösungsfunktion $x(t)$ ja gar nicht bekannt. Wieso kann es kein $s>0$ geben sodass auf einmal $x(s)<0$ gilt?

Ich kann das aus der DGL ehrlich gesagt nicht erkennen. Das einzige was ich noch ablesen kann sind die Stationären Pkt welche bei -1, -2 und 0 liegen.

Die Funktion f(x(t)) wäre ja Lipschitzstetig, da sie stetig differenzierbar ist. Nach dem Eindeutigkeitssatz dürfen sich Lösungstrajektorien nicht schneiden. Da f(0) ein stationärer Punkt ist und x(0)=1 gilt müsste die Lösungstrajektorie ja stets über der 0 liegen. Dann müsste gelten x(t)>0 für alle t>0.

Kann man evtl so argumentieren?

Bezug
                        
Bezug
Vergleichssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:10 Di 29.08.2017
Autor: leduart

Hallo
ich habe dir doch gezeigt, dass die t=d x'>1 also wächst die Funktion weiter.
einfacher ist [mm] x^3(t) dass x(t) abhängt ist dabei klar, ≈ «wächst mit wachsendem t.
wie sollte denn  x' jemals <1 werden , wenn es schon bei t=0  2 ist die x(t) also wachsen und damit x'
Gruß ledum



Bezug
                                
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Di 29.08.2017
Autor: Kruemelmonster2

Achja stimmt das leuchtet ein.
Vielen lieben dank :)

Bezug
        
Bezug
Vergleichssatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Di 29.08.2017
Autor: fred97


>  
> Es wäre wirklich nett wenn mir jemand erklären könnte
> warum [mm]x(t)>0[/mm] für alle [mm]t>0[/mm] gelten sollte. Der Dozent meinte
> es wäre trivial aber ich sehe das einfach nicht :/


Na ja , so trivial ist das auch nicht.

1. Annahme: x hat Nullstellen in $(0, [mm] \infty)$. [/mm] Da x stetig ist , gibt es eine kleinste positive Nullstelle [mm] t_0. [/mm] Dann haben wir:

[mm] x(t_0)=0 [/mm] und , wegen x(0)=1>0:

(*) x(t)>0 für t [mm] \in [0,t_0). [/mm]

Mit dem Mittelwertsatz bekommen wir ein [mm] s_0 \in (0,t_0) [/mm] mit

[mm] 0<1=x(0)-x(t_0)=(0-t_0)x'(s_0)=-t_0x'(s_0). [/mm]

Damit ist [mm] x'(s_0)<0, [/mm] also:

[mm] x(s_0)(x(s_0)+1)(x(s_0)+2) [/mm] <0.

Im Produkt links sind aber, wegen (*), alle Faktoren positiv, Widerspruch !


Damit hat also x im Intervall [0, [mm] \infty) [/mm] keine Nullstelle. Mit x(0)=1 und dem Zwischenwertsatz folgt nun das Gewünschte.

>  
> LG. Krümmelmonster


Bezug
                
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:52 Di 29.08.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo Fred,

Was spricht gegen den (vermutlich vom Dozenten gemeinten) Ansatz: [mm] $\dot [/mm] {x} [mm] \ge [/mm] 0$ auf [mm] (0,\infty) [/mm] damit ist x monoton wachsend auf [mm] $(0,\infty) [/mm] $ und mit x(0)=1 folgt das gewünschte.

Gruß
Gono

Bezug
                        
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:55 Di 29.08.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> Was spricht gegen den (vermutlich vom Dozenten gemeinten)
> Ansatz: [mm]\dot {x} \ge 0[/mm] auf [mm](0,\infty)[/mm] damit ist x monoton
> wachsend auf [mm](0,\infty)[/mm] und mit x(0)=1 folgt das
> gewünschte.

Hallo Gono,

vielleicht habe ich Tomaten auf den Augen, aber woher kommt

    [mm]\dot {x} \ge 0[/mm] auf [mm](0,\infty)[/mm] ?


>
> Gruß
>  Gono


Bezug
                                
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Di 29.08.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Es ist doch  [mm] $\dot{x}=x [/mm] (x+1)(x+2)$ und das ist offensichtlich nichtnegativ wenn x nichtnegativ? Oder übersehe ich etwas?

Gruß
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 Di 29.08.2017
Autor: fred97


> Hiho,
>
> Es ist doch  [mm]\dot{x}=x (x+1)(x+2)[/mm] und das ist
> offensichtlich nichtnegativ wenn x nichtnegativ? Oder
> übersehe ich etwas?

Es ist doch gerade zu zeigen, dass $x>0$ auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] ist !

>  
> Gruß
> Gono  


Bezug
                                                
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 So 03.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

ein gutes Beispiel, dass im Urlaub auch das eigene Hirn Urlaub macht und x und t nicht auseinander halten kann :-)
Danke für die Aufklärung.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Vergleichssatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 29.08.2017
Autor: Kruemelmonster2

Vielen lieben dank Fred für die wirklich Ausführliche Erklärung.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]