Vergleichbarkeit bei Relatione < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Tarphu |
Hallo!
Es geht mir um den Begriff "Vergleichbarkeit" bei Relationen. Dieser Begriff ist ja essentiell, wenn man verstehen will, wann Ordnungsrelationen total oder nur partiell sind.
Leider will mir diese Vergleichbarkeit einfach nicht in den Kopf und ich hoffe auf etwas Unterstüzung.
Ich habe folgende Definition vorliegen:
Die Elemente x und y aus M heißen vergleichbar bezüglich der Ordnungsrelation r in M, wenn entweder (x,y) [mm] \in [/mm] R oder (y,x) [mm] \in [/mm] R gilt.
Das klingt einfach, deswegen dachte ich anfangs sobald (1,5) in der Relation auftaucht, sind 1 und 5 vergleichbar. Aber das kann es nicht sein, da muss noch mehr dahinterstecken.
Ich brauch das jetzt wie erwähnt vor allem für die Totalen Ordnungsrelationen. Diese sind bei mir so definiert:
Eine Ordnungsrelation R in M heißt total, wenn je zwei Elemente von M bezüglich R miteinander vergleichbar sind. Andernfalls heißt sie partielle Ordnung.
Würde meine obige Vermutung wirklich stimmen, so bräuchte ich ja nur zu schauen, ob jedes Element irgendwo in der Relation mal mit jedem anderen in einer Klammer steht, so dass sich alle "kennen".
Aber wie gesagt, so einfach ist es wohl nicht.
Als Beispiele sind noch angegeben:
Totale Halbordnung: [mm] "\le" [/mm] in R
Totale Ordnung "<" in R
Das mit der Vergleichbarkeit war noch irgendwie so, dass alle Elemente unterschiedlich sein müssen, damit man eindeutig einen "Rang" aufstellen kann - oder so ähnlich.
Desweiteren habe ich unter der Definition noch folgenden Satz:
Somit ist jedes Element in M bezüglich einer Halbordnung oder Ordnung R mit sich selbst vergleichbar.
Ordnungen sind bei uns jedoch als asymmetrisch definiert, wie soll da dann ein (x,x) vorkommen ("mit sich selbst vergleichbar").
Ihr seht mein Problem... bitte nicht allzu mathematisch Antorten, aber ich bin natürlich für jede Antwort dankbar. :)
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Huhu,
na dann wollen wir das mal aufschlüsseln:
> Hallo!
> Ich habe folgende Definition vorliegen:
>
> Die Elemente x und y aus M heißen vergleichbar bezüglich
> der Ordnungsrelation r in M, wenn entweder (x,y) [mm]\in[/mm] R oder
> (y,x) [mm]\in[/mm] R gilt.
Erstmal vorweg: "Vergleichbar" ist kein mathematisch fundierter Begriff, d.h. ich nehme erstmal das, was du aufgeschrieben hast als gegeben hin.
Das ist ja erstmal die Definition davon, was es heisst ,dass zwei Elemente in Relation zueinander stehen. Das macht für das Wort "vergleichbar" zumindest auch Sinn.
> Das klingt einfach, deswegen dachte ich anfangs sobald
> (1,5) in der Relation auftaucht, sind 1 und 5 vergleichbar.
Genau so ist es.
> Aber das kann es nicht sein, da muss noch mehr
> dahinterstecken.
Warum?
> Ich brauch das jetzt wie erwähnt vor allem für die
> Totalen Ordnungsrelationen. Diese sind bei mir so
> definiert:
>
> Eine Ordnungsrelation R in M heißt total, wenn je zwei
> Elemente von M bezüglich R miteinander vergleichbar sind.
> Andernfalls heißt sie partielle Ordnung.
>
> Würde meine obige Vermutung wirklich stimmen, so bräuchte
> ich ja nur zu schauen, ob jedes Element irgendwo in der
> Relation mal mit jedem anderen in einer Klammer steht, so
> dass sich alle "kennen".
> Aber wie gesagt, so einfach ist es wohl nicht.
Doch, genauso einfach ist es.
> Als Beispiele sind noch angegeben:
>
> Totale Halbordnung: [mm]"\le"[/mm] in R
> Totale Ordnung "<" in R
>
> Das mit der Vergleichbarkeit war noch irgendwie so, dass
> alle Elemente unterschiedlich sein müssen, damit man
> eindeutig einen "Rang" aufstellen kann - oder so ähnlich.
>
>
> Desweiteren habe ich unter der Definition noch folgenden
> Satz:
>
> Somit ist jedes Element in M bezüglich einer Halbordnung
> oder Ordnung R mit sich selbst vergleichbar.
>
> Ordnungen sind bei uns jedoch als asymmetrisch definiert,
> wie soll da dann ein (x,x) vorkommen ("mit sich selbst
> vergleichbar").
Asymmetrie bei Ordnungen bezieht sich ja nur auf UNTERSCHIEDLICHE Elemente, so dass $(x,x)$ durchaus auch vorkommen kann.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
