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Vereinigung von Teilmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Fr 08.05.2020
Autor: James90

Hallo!

Ich komme mir hier leider etwas blöd vor, aber ich komme leider nicht weiter ...

Seien [mm] $A,B\subseteq\IR$. [/mm]
Gilt dann [mm] $A\cup B\subseteq\IR$? [/mm]

Sei [mm] $x\in A\cup [/mm] B$.
Zu zeigen: [mm] $x\in\IR$. [/mm]
Beweis:
Aus [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ folgt [mm] $x\in [/mm] A [mm] \vee x\in [/mm] B$.
Fall 1) Sei [mm] $x\in [/mm] A$. Dann gilt wegen [mm] ($A\subseteq\IR$) [/mm] auch [mm] $x\in\IR$. [/mm]
Fall 2) Sei [mm] $x\in [/mm] B$. Dann gilt wegen [mm] ($B\subseteq\IR$) [/mm] auch [mm] $x\in\IR$. [/mm]
Fall 3) Sei [mm] $x\in A\wedge x\in [/mm] B$. Wie geht es hier weiter?

Und:
Gibt es ein [mm] $A\subseteq\IR$ [/mm] und ein [mm] $R\ge [/mm] 0$ mit [mm] $A\subseteq[-R,R]$? [/mm]
Versuch: [mm] $\emptyset\subseteq\IR$, [/mm] $R=0$. Dann gilt [mm] $\emptyset\subseteq\{0\}$. [/mm]

Viele Grüße!

        
Bezug
Vereinigung von Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Fr 08.05.2020
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Ich komme mir hier leider etwas blöd vor, aber ich komme
> leider nicht weiter ...
>  
> Seien [mm]A,B\subseteq\IR[/mm].
>  Gilt dann [mm]A\cup B\subseteq\IR[/mm]?
>  
> Sei [mm]x\in A\cup B[/mm].
>  Zu zeigen: [mm]x\in\IR[/mm].
>  Beweis:
>  Aus [mm]x\in A\cup B[/mm] folgt [mm]x\in A \vee x\in B[/mm].
>  Fall 1) Sei
> [mm]x\in A[/mm]. Dann gilt wegen ([mm]A\subseteq\IR[/mm]) auch [mm]x\in\IR[/mm].

Stimmt.

>  Fall 2) Sei [mm]x\in B[/mm]. Dann gilt wegen ([mm]B\subseteq\IR[/mm]) auch
> [mm]x\in\IR[/mm].

Stimmt auch.


>  Fall 3) Sei [mm]x\in A\wedge x\in B[/mm]. Wie geht es hier weiter?

Braucht man Fall 3 wirklich ? Aber bitte:

ist [mm]x\in A\wedge x\in B[/mm], so ist $x [mm] \in [/mm] A$  . Weiter wie in Fall 1.


>  
> Und:
>  Gibt es ein [mm]A\subseteq\IR[/mm] und ein [mm]R\ge 0[/mm] mit
> [mm]A\subseteq[-R,R][/mm]?


Na klar: [mm] $\{0\} \subseteq [/mm] [-R,R].$


>  Versuch: [mm]\emptyset\subseteq\IR[/mm], [mm]R=0[/mm]. Dann gilt
> [mm]\emptyset\subseteq\{0\}[/mm].

Das stimmt. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

>  
> Viele Grüße!


Bezug
                
Bezug
Vereinigung von Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Fr 08.05.2020
Autor: James90

Puh, endlich Erleichterung! Mein Kopf hatte wohl einen Hänger ... :-)

Bezug
                        
Bezug
Vereinigung von Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Fr 08.05.2020
Autor: HJKweseleit

Zusatzbemerkung: Wenn A nicht die leere Menge sein darf, kannst du [mm] A=\{0\} [/mm]  nehmen, dass passt auch immer.

Bezug
                                
Bezug
Vereinigung von Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Fr 08.05.2020
Autor: fred97


> Zusatzbemerkung: Wenn A nicht die leere Menge sein darf,
> kannst du [mm]A=\{0\}[/mm]  nehmen,


Ich erinnere mich ganz dunkel, dass ich genau das in meiner Antwort geschrieben habe. ........




> dass passt auch immer.


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