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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Mo 07.10.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | Seien [mm] A_1, ..., A_n [/mm] Teilmengen von [mm] \IR [/mm].
Sind die [mm] A_n [/mm] offen für alle [mm] n \in \IN [/mm], so ist auch [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm] offen. |
Hallo,
wir haben die Aufgabe so gelöst:
Sei [mm]x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm]. Sei [mm] n \in \IN [/mm] mit [mm] x \in A_n [/mm].
[mm]A_n[/mm] offen [mm]\Rightarrow \exists \espilon > 0[/mm] mit [mm] ]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq A_n [/mm].
Also [mm] ]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm].
Also ist [mm]\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm] offen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mo 07.10.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]A_1, ..., A_n[/mm] Teilmengen von [mm]\IR [/mm].
> Sind die [mm]A_n[/mm]
> offen für alle [mm]n \in \IN [/mm], so ist auch [mm]\bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm]
> offen.
>
> Hallo,
> wir haben die Aufgabe so gelöst:
>
Vorweg: Du hast das richtig gemacht, nur die Notation würde ich etwas ändern.
> Sei [mm]x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]x \in A_n [/mm].
Da der Index n schon im Vereinigungszeichen verwendet wird, schreibe besser
......es ex. ein j [mm] \in \IN [/mm] mit x [mm] \in A_j [/mm] .......
>
> [mm]A_n[/mm] offen [mm]\Rightarrow \exists \espilon > 0[/mm] mit [mm]]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq A_n [/mm].
auch hier [mm] A_j [/mm] statt [mm] A_n
[/mm]
>
> Also [mm]]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm].
>
Das ist O.K
> Also ist [mm]\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n[/mm] offen.
>
richtig.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mo 07.10.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
auch wenn dein Beweis nicht zu beanstanden ist, eine Verständnisfrage für dich:
> Sei [mm]x \in \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n [/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]x \in A_n [/mm]
Warum sollte es so ein [mm] A_n [/mm] geben?
Gruß,
Gono
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