Vereinfachung einer Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x^3+x^2-8x-12}{-x^3+4x^2+3x-18}=\bruch{(x+2)^2(x-3)}{-(x+2)(x-3)²} [/mm] |
Hallo
Ich verstehe leider nicht wie man zu dieser Gleichung kommt.
Ich habe gehört dass es mit Partialsummenzerlegung funktionieren soll doch weiß ich nicht wie man diese anwendet.
Ich bitte um eure Hilfe
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo olivercan,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") 
>
> [mm]\bruch{x^3+x^2-8x-12}{-x^3+4x^2+3x-18}=\bruch{(x+2)^2(x-3)}{-(x+2)(x-3)²}[/mm]
> Hallo
> Ich verstehe leider nicht wie man zu dieser Gleichung
> kommt.
> Ich habe gehört dass es mit Partialsummenzerlegung
> funktionieren soll doch weiß ich nicht wie man diese
> anwendet.
Betrachte Zähler und Nenner getrennt voneinander und versuche, die zu faktorisieren.
Ich zeige mal für den Zähler, wie man anfängt...
Also das Zählerpolynom ist [mm] $x^3+x^2-8x-12$
[/mm]
Nun müssen wir dessen Nullstellen bestimmen.
Da gibt es einen "kleinen Trick" bzw. Satz, der besagt, dass wenn es eine ganzzahlige Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] gibt, diese ein ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes, also desjenigen ohne x, ist.
Hier ist das Absolutglied 12 bzw. -12, das hat die Teiler [mm] $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12\}$
[/mm]
Die können wir mal einsetzen in das Zählerpolynom und schauen, ob eine davon eine NST ist:
Fangen wir mit [mm] $x_0=1$ [/mm] an: [mm] $1^3+1^2-8\cdot{}1-12=-18\neq [/mm] 0$ - passt schon mal nicht
als nächstes [mm] $x_0=2$: [/mm] einsetzen: [mm] $2^3+2^2-8\cdot{}2-12=-16\neq [/mm] 0$ - wieder nix
nun [mm] $x_0=3$ [/mm] probieren: [mm] $3^3+3^2-8\cdot{}3-12=27+9-24-12=0$
[/mm]
Ha, passt!
Nun können wir mit Hilfe der Polynomdivision den Linearfaktor [mm] $(x-x_0)$, [/mm] also $(x-3)$ abspalten und so das Polynom um einen Grad runterschrauben, so dass es ein quadratisches wird, das du mit der p/q-Formal weiter verarzten kannst
[mm] $(x^3+x^2-8x-12):(x-3)=x^2+4x+4$
[/mm]
Die weiteren Nullstellen von [mm] $x^2+4x+4$ [/mm] kannst du ja locker bestimmen.
Wenn du alle 3 NST [mm] x_0,x_1,x_2 [/mm] hast, kannst du das (Ausgangs)Zählerpolynom schreiben als [mm] $(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$
[/mm]
Und genauso machst du das mit dem Nennerpolynom...
> Ich bitte um eure Hilfe
> Danke
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hallo schachuzipus ,vielen dank für deine schnelle antwort.
Ich habe beim zähler weitergemacht und dank der pq Formel 2 mal -2 als Nullstelle gefunden.
Beim Nenner fand ich -2 als Nulstelle denn 8+16-6-18=0
dann habe ich die Polynomdivision gemacht und fand [mm] -x^3+4x^2+3x-18:x+2= -x^2+6x-9 [/mm] doch wenn ich nun die pq Formel einsetzte erhalte ich : -3 plus-minus wurzel von 18 doch eigentlich müsste ich -3 plus-minus 0 erhalten.Weißt du wo ich mich verrechnet habe?
|
|
|
| |
|
Hallo Tyskie84.
Sorry mein Internet ist grad abgestützt deshalb antworte ich erst jetzt.
Danke für deine Antwort jetzt verstehe ich was ich falsch gemacht habe doch frage ich mich noch woher das minus am Anfang des nenners kommt?
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
anstatt durch -1 zu teilen, klammere es besser aus, dann geht's dir nicht verloren
also nach deiner PD hattest du: $(-x^3+4x^2+3x-18):(x+2)=-x^2+6x-9$
Also blieben - wie du's auch richtig angesetzt hast - die NST von $-x^2+6x-9$ zu bestimmen:
$-x^2+6x-9=0\gdw \blue{(-1)}\cdot{}\red{(x^2-6x+9)}=0$
Die NST von $\red{(x^2-6x+9)}$ war $x=3$ als doppelte NST
Damit kannst du deinen Nenner schreiben als $\blue{(-1)\cdot{}\red{(x+2)\cdot{}(x-3)\cdot{}(x-3)}=-(x+2)(x-3)^2$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 30.03.2008 | | Autor: | olivercan |
Vielen Dank für alles ich bin sehr froh dass ich es nun endlich verstehe.
Viele Grüße.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
stimmt
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
Gruß
