Verbandseigenschaften < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:17 Mo 16.11.2009 | | Autor: | phychem |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Ich habe erneut eine Frage zur Verbandstheorie. Genauer gesagt zur Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.
Den Begriff der Abgeschlossenheit kenne ich bisher aus der Ordnungstheorie und der Verbandstheorie. Man scheint den Begriff in diesen beiden Gebieten unterschiedlich zu definieren. In der Ordnungstheorie ist eine Menge abgeschlossen, wenn sie (in der entsprechenden Obermenge) über untere und obere Schranken verfügt. In der Verbandstheorie gilt die Trägermenge als abgeschlossen, wenn sie ein Maximum und ein Minimum besitzt.
Den Begriff der "Vollständigkeit" hab ich bisher in der Ordnungstheorie und nun auch in der Verbandstheorie kennengelernt. In beiden Gebieten scheint er synonym verwendet zu werden, wobei man sich in der Verbandstheorie nicht nur auf Totalordnungen zu beschränken scheint, sondern auch im Zusammenhang mit Halbordnungen von Vollständigkeit spricht.
Nun zu meiner Frage: Die Mengen [mm] \IR [/mm] und [mm] \IZ [/mm] sind bekanntlich ordnungsvollständig (mir liegen auch die zugehörigen Beweise vor). Die Menge der rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] ist hingegen unvollständig (auch dies vermag ich zu beweisen). Auf Wikipedia findet man nun folgende Aussage:
"Das offene reelle Intervall (0, 1), die Mengen R, Q und Z sind jeweils unvollständige unbeschränkte distributive Verbände mit den Verknüpfungen max und min."
- Die Abgeschlossenheit ist offensichtlich. Keine dieser vier Mengen besitzt ein Maximum und ein Minimum.
- Die fehlende Vollständigkeit kann ich aber nicht nachvollziehen. Die Verbände (0, 1), R und Z sind doch vollständig?!?!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:47 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe erneut eine Frage zur Verbandstheorie. Genauer
> gesagt zur Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.
Damit kenne ich mich nicht wirklich aus, aber ich versuche trotzdem mal etwas zu antworten.
> Den Begriff der Abgeschlossenheit kenne ich bisher aus der
> Ordnungstheorie und der Verbandstheorie. Man scheint den
> Begriff in diesen beiden Gebieten unterschiedlich zu
> definieren. In der Ordnungstheorie ist eine Menge
> abgeschlossen, wenn sie (in der entsprechenden Obermenge)
> über untere und obere Schranken verfügt. In der
> Verbandstheorie gilt die Trägermenge als abgeschlossen,
> wenn sie ein Maximum und ein Minimum besitzt.
Ok.
> Den Begriff der "Vollständigkeit" hab ich bisher in der
> Ordnungstheorie und nun auch in der Verbandstheorie
> kennengelernt. In beiden Gebieten scheint er synonym
> verwendet zu werden, wobei man sich in der Verbandstheorie
> nicht nur auf Totalordnungen zu beschränken scheint,
> sondern auch im Zusammenhang mit Halbordnungen von
> Vollständigkeit spricht.
In der Verbandstheorie bedeutet vollstaendig ja, dass es zu jeder Menge ein Supremum und Infimum gibt (und nicht nur zu endlichen Mengen).
Was vollstaendig in der Ordnungstheorie bedeutet weiss ich nicht. Magst du mir die Definition nennen?
> Nun zu meiner Frage: Die Mengen [mm]\IR[/mm] und [mm]\IZ[/mm] sind
> bekanntlich ordnungsvollständig (mir liegen auch die
Was genau bedeutet ordnungsvollstaendig?
> zugehörigen Beweise vor). Die Menge der rationalen Zahlen
> [mm]\IQ[/mm] ist hingegen unvollständig (auch dies vermag ich zu
> beweisen). Auf Wikipedia findet man nun folgende Aussage:
>
> "Das offene reelle Intervall (0, 1), die Mengen R, Q und Z
> sind jeweils unvollständige unbeschränkte distributive
> Verbände mit den Verknüpfungen max und min."
>
> - Die Abgeschlossenheit ist offensichtlich. Keine dieser
> vier Mengen besitzt ein Maximum und ein Minimum.
Ja.
> - Die fehlende Vollständigkeit kann ich aber nicht
> nachvollziehen. Die Verbände (0, 1), R und Z sind doch
> vollständig?!?!!
Vollstaendige Verbaende haben ein Minimum und ein Maximum: naemlich [mm] $\bigcup \emptyset$ [/mm] und [mm] $\bigcap \emptyset$. [/mm] Die drei genannten Verbaende besitzen jedoch weder ein Minimum noch ein Maximum, wie du gerade gesagt hast. Damit sind sie nicht vollstaendig.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:16 Mo 16.11.2009 | | Autor: | phychem |
In der Ordnungstheorie definiert man die Vollständigkeit, auch Ordnungsvollständigkeit genannt, wie folgt:
"Eine totalgeordnete Menge [mm] (X,\le) [/mm] nennt man ”ordnungsvollständig”, wenn jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von X ein Supremum besitzt. Man sagt dann, X erfülle das ”Vollständigkeitsaxiom” bzw. ”Supremumsaxiom”."
Folgenden Aussagen sind äquivalent zueinander:
i) X ist ordnungsvollständig.
ii) Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von X besitzt ein Infimum.
iii) Für je zwei nichtleere Teilmengen A,B von X mit [mm] a\leb [/mm] für [mm] (a,b)\in A\timesB [/mm] gibt es ein [mm] c\inX [/mm] mit [mm] a\lec\leq [/mm] b für alle [mm] (a,b)\inA\times [/mm] B.
"Die drei genannten Verbaende besitzen jedoch weder ein Minimum noch ein Maximum, wie du gerade gesagt hast. Damit sind sie nicht vollstaendig."
Hmmm. Ich steh ihr vor folgenden Widerspruch:
Deine Aussage kann wie folgt begründet werden: Die beiden Verbandsverknüpfungen sind auf der Trägermenge des Verbandes abgeschlossen. Sollte ein Verband also abgeschlossen sein, müssen alle Supremen und Infimen innerhalb des Verbandes liegen. Folglich muss der Verband über ein Maximum und ein Minimum verfügen.
Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig (jede beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum und Infimum), besitzt aber kein Maximum und Minimum. Genauso das Intervall (0,1) und die Menge der ganzen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist die einzige wirklich unvollständige Menge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | phychem |
Ich habe mich verschrieben:
Anstelle von
"Deine Aussage kann wie folgt begründet werden: Die beiden Verbandsverknüpfungen sind auf der Trägermenge des Verbandes abgeschlossen. Sollte ein Verband also abgeschlossen sein, müssen alle Supremen und Infimen innerhalb des Verbandes liegen. Folglich muss der Verband über ein Maximum und ein Minimum verfügen."
sollte stehen
"Deine Aussage kann wie folgt begründet werden: Die beiden Verbandsverknüpfungen sind auf der Trägermenge des Verbandes abgeschlossen. Sollte ein Verband also vollständig sein, müssen alle Supremen und Infimen innerhalb des Verbandes liegen. Folglich muss der Verband über ein Maximum und ein Minimum verfügen."
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:21 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe mich verschrieben:
>
> Anstelle von
>
> "Deine Aussage kann wie folgt begründet werden: Die beiden
> Verbandsverknüpfungen sind auf der Trägermenge des
> Verbandes abgeschlossen. Sollte ein Verband also
> abgeschlossen sein, müssen alle Supremen und Infimen
> innerhalb des Verbandes liegen. Folglich muss der Verband
> über ein Maximum und ein Minimum verfügen."
>
> sollte stehen
>
>
> "Deine Aussage kann wie folgt begründet werden: Die beiden
> Verbandsverknüpfungen sind auf der Trägermenge des
> Verbandes abgeschlossen. Sollte ein Verband also
> vollständig sein, müssen alle Supremen und Infimen
> innerhalb des Verbandes liegen. Folglich muss der Verband
> über ein Maximum und ein Minimum verfügen."
Aeh, ja, so hatte ich das auch gelesen :D
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In der Ordnungstheorie definiert man die Vollständigkeit,
> auch Ordnungsvollständigkeit genannt, wie folgt:
>
> "Eine totalgeordnete Menge [mm](X,\le)[/mm] nennt man
> ”ordnungsvollständig”, wenn jede nichtleere nach oben
> beschränkte Teilmenge von X ein Supremum besitzt. Man sagt
> dann, X erfülle das ”Vollständigkeitsaxiom” bzw.
> ”Supremumsaxiom”."
>
> Folgenden Aussagen sind äquivalent zueinander:
>
> i) X ist ordnungsvollständig.
> ii) Jede nichtleere nach unten beschränkte Teilmenge von
> X besitzt ein Infimum.
> iii) Für je zwei nichtleere Teilmengen A,B von X mit
> [mm]a\leb[/mm] für [mm](a,b)\in A\timesB[/mm] gibt es ein [mm]c\inX[/mm] mit
> [mm]a\lec\leq[/mm] b für alle [mm](a,b)\inA\times[/mm] B.
Ah, also sozusagen das "ganz normale" Vollstaendigkeitsaxiom.
Damit unterscheidet sich dies sehr von der Vollstaendigkeit bei Verbaenden: dort wird naemlich nicht gefordert, dass die Menge (die ein Supremum/Infimum besitzen soll) eine obere/untere Schranke besitzt.
Es muss einfach jede Menge eine untere/obere Schranke besitzen.
> "Die drei genannten Verbaende besitzen jedoch weder ein
> Minimum noch ein Maximum, wie du gerade gesagt hast. Damit
> sind sie nicht vollstaendig."
>
> Hmmm. Ich steh ihr vor folgenden Widerspruch:
>
> Deine Aussage kann wie folgt begründet werden: Die beiden
> Verbandsverknüpfungen sind auf der Trägermenge des
> Verbandes abgeschlossen. Sollte ein Verband also
> abgeschlossen sein, müssen alle Supremen und Infimen
> innerhalb des Verbandes liegen. Folglich muss der Verband
> über ein Maximum und ein Minimum verfügen.
Wenn er vollstaendig ist, schon.
> Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig (jede
Ist ordnungsvollstaendig. Nicht verbandsvollstaendig.
> beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum und Infimum),
> besitzt aber kein Maximum und Minimum. Genauso das
> Intervall (0,1) und die Menge der ganzen Zahlen.
Genau.
> Die Menge der rationalen Zahlen ist die einzige wirklich
> unvollständige Menge.
Sie ist weder ordnungsvollstaendig noch verbandsvollstaendig.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:33 Mo 16.11.2009 | | Autor: | phychem |
Achso!
Man kann dann sagen:
Verbandsvollständigkeit [mm] \Rightarrow [/mm] Beschränktheit
Die Umkehrung wäre wohl aber falsch.
Ich sah mich vor folgendem vermeindlichem Widerspruch:
Mengen wie (0,1) sind zwar ordnungsvollständig, die Supremen und Infimen können aber auch ausserhalb dieser Menge liegen. In Verbänden liegen alle Supremen und Infimen aufgrund der Abgeschlossenheit der beiden Verknüpfungen innerhalb der Verbandsmenge.
Dies schien mir ein unüberwindbarer Widerspruch....
Nun wo du mich auf den kleinen aber entscheidenden Definitionsunterschied der beiden Vollständigkeitsbegriffe aufmerksam gemacht hast, verschwindet dieser Widerspruch....
Nun kennst du auch den Begriff "Ordnungsvollständigkeit", der - wie wir gerade gesehen haben - nicht ganz unnütze ist.
Ich danke dir erneut für deine Hilfe.
lg phychem
Noch ein ergänzendes Beispiel (dann ist auch dieser Typ noch vertretten): Laut Wikipedia bildet [0,1] mit den beiden Verknüpfungen max und min einen distributiven vollständigen (und damit beschränkten) Verband. Dies macht nun auch Sinn. [0,1] ist sowohl ordnungsvollständig als auch verbandsvollständig (da [0,1] als Obermenge aller Teilmengen beschränkt ist folgt die Verbandsvollständigkeit direkt aus der Ordnungsvollständigkeit).
edit: Hmm. Irgendwie macht hier die in der anderen von mir gestarteten Verbandsdiskussion erläuterte Formulierung des maximalen und minimalen Elementes keinen Sinn:
"1"=max([0,1])=1 ?= [mm] min(\emptyset)
[/mm]
"0"=min([0,1])=0 ?= [mm] max(\emptyset)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:59 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man kann dann sagen:
>
> Verbandsvollständigkeit [mm]\Rightarrow[/mm] Beschränktheit
>
> Die Umkehrung wäre wohl aber falsch.
Ja.
> Ich sah mich vor folgendem vermeindlichem Widerspruch:
> Mengen wie (0,1) sind zwar ordnungsvollständig, die
> Supremen und Infimen können aber auch ausserhalb dieser
> Menge liegen.
Naja: jede nicht-leere Teilmenge von $(0, 1)$ die nach unten beschraenkt ist (in $(0, 1)$!), besitzt auch ein Infimum in $(0, 1)$.
Wenn du von Infimen und Supremen redest, die nicht in der Menge liegen, meinst du die entsprechenden Infimen und Supremen in $[0, 1]$ (oder [mm] $\IR$ [/mm] oder sonstigen Oberverbaenden, die sozusagen eine "Vervollstaendigung" von $(0, 1)$ enthalten).
> In Verbänden liegen alle Supremen und
> Infimen aufgrund der Abgeschlossenheit der beiden
> Verknüpfungen innerhalb der Verbandsmenge.
Ja.
> Dies schien mir ein unüberwindbarer Widerspruch....
>
>
> Nun wo du mich auf den kleinen aber entscheidenden
> Definitionsunterschied der beiden Vollständigkeitsbegriffe
> aufmerksam gemacht hast, verschwindet dieser
> Widerspruch....
Gut :)
> Nun kennst du auch den Begriff "Ordnungsvollständigkeit",
> der - wie wir gerade gesehen haben - nicht ganz unnütze
> ist.
Ja. Ich kannte ihn auch vorher schon, aber nicht unter dem Namen 
> Noch ein ergänzendes Beispiel (dann ist auch dieser Typ
> noch vertretten): Laut Wikipedia bildet [0,1] mit den
> beiden Verknüpfungen max und min einen distributiven
> vollständigen (und damit beschränkten) Verband. Dies
> macht nun auch Sinn. [0,1] ist sowohl ordnungsvollständig
> als auch verbandsvollständig (da [0,1] als Obermenge aller
> Teilmengen beschränkt ist folgt die
> Verbandsvollständigkeit direkt aus der
> Ordnungsvollständigkeit).
Ja. Wichtig ist noch: $[0, 1]$ ist beschraenkt in $[0, 1]$, d.h. es gibt eine obere und eine untere Schranke von $[0, 1]$, die in $[0, 1]$ liegen.
Das ist ja bei $(0, 1)$ gerade nicht der Fall: es ist zwar beschraenkt in $[0, 1]$ oder [mm] $\IR$, [/mm] aber nicht in $(0, 1)$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:09 Mo 16.11.2009 | | Autor: | phychem |
Achso. Der Satz
"Mengen wie (0,1) sind zwar ordnungsvollständig, die Supremen und Infimen können aber auch ausserhalb dieser Menge liegen."
sollte noch keinen Widerspruch enthalten. Der Widerspruch lag zwischen diesem Satz und dem darauffolgenden. Ich hab mich da wohl etwas unklar ausgedrückt.
"Ja. Wichtig ist noch: [0, 1] ist beschraenkt in [0, 1] , d.h. es gibt eine obere und eine untere Schranke von [0, 1] , die in [0, 1] liegen. "
Aus diesem Grund folgt im Fall [0,1] die Verbandsvollständigkeit aus der Ordnungsvollständigkeit:
((jede beschränkte Menge besitzt ein Supremum) [mm] \wedge [/mm] (die Obermenge ist beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] jede Teilmenge ist beschränkt)) [mm] \Rightarrow [/mm] (verbandsvollständig).
Die Verbandsvollständigkeit unterscheidet sich also in zwei (!) Punkten von der Ordnungsvollständigkeit:
a) Nicht nur beschränkte Teilmengen, sondern alle Teilmengen müssen ein Supremum haben.
b) Das Supremum bzw. Infimum muss (!) innerhalb der Obermenge bzw. des Verbandes liegen (diese Zusatz wird überall vernachlässigt; ohne ihn wäre (0,1) aber vollständig).
Ist das so richtig?
Beachte: Ich habe meine letzte Frage noch überarbeitet (ganz unten).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Achso. Der Satz
> "Mengen wie (0,1) sind zwar ordnungsvollständig, die
> Supremen und Infimen können aber auch ausserhalb dieser
> Menge liegen."
> sollte noch keinen Widerspruch enthalten. Der Widerspruch
> lag zwischen diesem Satz und dem darauffolgenden. Ich hab
> mich da wohl etwas unklar ausgedrückt.
Ok :)
> "Ja. Wichtig ist noch: [0, 1] ist beschraenkt in [0, 1]
> , d.h. es gibt eine obere und eine untere Schranke von [0,
> 1] , die in [0, 1] liegen. "
>
> Aus diesem Grund folgt im Fall [0,1] die
> Verbandsvollständigkeit aus der Ordnungsvollständigkeit:
> ((jede beschränkte Menge besitzt ein Supremum) [mm]\wedge[/mm]
> (die Obermenge ist beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] jede Teilmenge
> ist beschränkt)) [mm]\Rightarrow[/mm] (verbandsvollständig).
Genau.
> Die Verbandsvollständigkeit unterscheidet sich also in
> zwei (!) Punkten von der Ordnungsvollständigkeit:
>
> a) Nicht nur beschränkte Teilmengen, sondern alle
> Teilmengen müssen ein Supremum haben.
>
> b) Das Supremum bzw. Infimum muss (!) innerhalb der
> Obermenge bzw. des Verbandes liegen (diese Zusatz wird
> überall vernachlässigt; ohne ihn wäre (0,1) aber
> vollständig).
>
>
> Ist das so richtig?
Ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> edit: Hmm. Irgendwie macht hier die in der anderen von mir
> gestarteten Verbandsdiskussion erläuterte Formulierung des
> maximalen und minimalen Elementes keinen Sinn:
>
> "1"=max([0,1])=1 ?= [mm]min(\emptyset)[/mm]
> "0"=min([0,1])=0 ?= [mm]max(\emptyset)[/mm]
Doch, das macht schon Sinn. Das "Maximum" von [mm] $\emptyset$ [/mm] ist ja das Supremum von [mm] $\emptyset$. [/mm] Dieses muss kleinergleich dem Supremum jeder Obermenge von [mm] $\emptyset$ [/mm] sein, insbesondere auch der Obermenge [mm] $\{ 0 \}$. [/mm] Also muss [mm] $\sup \emptyset [/mm] = [mm] \max \emptyset [/mm] = 0$ sein.
LG Felix
|
|
|
|
