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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Do 13.03.2008 | | Autor: | cauchy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute, ich hoffe ihr könnt mir helfen. In unserer Mathevorlesung (Analysis I) wurde der verallgemeinerte Mittelwertsatz wie folgt definiert:
Seien f,g: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig. Seien f und g diff'bar in ]a,b[. Dann existiert [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ mit
[f(b)-f(a)] [mm] g'(\xi) [/mm] = [g(b)-g(a)] [mm] f'(\xi)
[/mm]
Den Satz kann ich soweit "akzeptieren" und habe mir auch schon ein Beispiel konstruiert mit [mm] f(x)=(x-1)^2 [/mm] und [mm] g(x)=x^3 [/mm] im Intervall [-2,2] und [mm] \xi=\bruch{2}{3} [/mm] berechnet, nur leider weiß ich überhaupt nicht, was dieser Satz bedeutet! Wofür ist er wichtig? Was bedeutet er graphisch? Was sagt mir denn z. B. dass [mm] \xi=\bruch{2}{3} [/mm] ist? Was ist bei dieser Stelle?
Mein Problem kommt hauptsächlich dadurch zustande, dass ich den 1. MWS verstehe und weiß, was er graphisch bedeutet.
Danke im Voraus!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute, ich hoffe ihr könnt mir helfen. In unserer
> Mathevorlesung (Analysis I) wurde der verallgemeinerte
> Mittelwertsatz wie folgt definiert:
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> Seien f,g: [a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig. Seien f und g diff'bar in
> ]a,b[. Dann existiert [mm]\xi \in[/mm] ]a,b[ mit
> [f(b)-f(a)] [mm]g'(\xi)[/mm] = [g(b)-g(a)] [mm]f'(\xi)[/mm]
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> Den Satz kann ich soweit "akzeptieren" und habe mir auch
> schon ein Beispiel konstruiert mit [mm]f(x)=(x-1)^2[/mm] und
> [mm]g(x)=x^3[/mm] im Intervall [-2,2] und [mm]\xi=\bruch{2}{3}[/mm]
> berechnet, nur leider weiß ich überhaupt nicht, was dieser
> Satz bedeutet! Wofür ist er wichtig? Was bedeutet er
> graphisch?
Zur "graphischen Bedeutung" hilft es vielleicht, einmal anzunehmen, dass [mm] $g'(\xi)$ [/mm] und $g(b)-g(a) [mm] \neq [/mm] 0$ sind. In diesem Fall kann man anstelle von
[mm] [f(b)-f(a)] g'(\xi) = [g(b)-g(a)] f'(\xi)[/mm]
schreiben
[mm] \frac{\red{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}{\blue{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}} = \frac{\red{f'(\xi)}}{\blue{g'(\xi)}}[/mm]
das heisst: es gibt ein [mm] $\xi\in [/mm] ]a;b[$ für das das Verhältnis der Ableitungen [mm] $f'(\xi)$, $g'(\xi)$ [/mm] gleich dem Verhältnis der Sekantensteigungen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 13.03.2008 | | Autor: | cauchy |
Ok, danke, das hilft mir schon weiter!
Aber: Warum ist es das gleiche ob ich
$ [mm] \frac{{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}{{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}} [/mm] = [mm] \frac{{f'(\xi)}}{{g'(\xi)}} [/mm] $
oder
$ [mm] \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} [/mm] $
(wenn ich annehme, dass g(b)-g(a) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \not= g'(\xi) [/mm] )
betrachte?
Und noch eine Frage: Ist diese Stelle [mm] \xi \in [/mm] ]a,b[ wichtig?
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> Ok, danke, das hilft mir schon weiter!
> Aber: Warum ist es das gleiche ob ich
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> [mm]\frac{{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}{{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}} = \frac{{f'(\xi)}}{{g'(\xi)}}[/mm]
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> oder
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> [mm]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}[/mm]
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> (wenn ich annehme, dass g(b)-g(a) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\not= g'(\xi)[/mm] )
>
> betrachte?
Du darfst ja den Bruch [mm] $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ [/mm] mit dem Faktor [mm] $\frac{1}{b-a}$ [/mm] erweitern, ohne dass dadurch sein Wert verändert würde.
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> Und noch eine Frage: Ist diese Stelle [mm]\xi \in[/mm] ]a,b[
> wichtig?
Jedenfalls kannst Du nicht erwarten, dass diese Beziehung für jedes beliebige [mm] $\xi\in [/mm] ]a;b[$ gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Fr 14.03.2008 | | Autor: | cauchy |
> Du darfst ja den Bruch [mm]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[/mm] mit dem
> Faktor [mm]\frac{1}{b-a}[/mm] erweitern, ohne dass dadurch sein Wert
> verändert würde.
Stimmt! Ich hatte übersehen, dass sich ja bei dem Doppelbruch [mm] \frac{{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}}{{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}}$ [/mm] der Nenner b-a rauskürzt!
Vielen Dank, Somebody, ich denke die Beziehung der beiden MWS ist mir jetzt schon viel klarer geworden!
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