Verallgemeinerte Helix < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:02 Di 20.10.2015 | | Autor: | mariem |
Hallo,
ich gucke die folgende Aufgabe:
A regular curve [mm] \gamma [/mm] in [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] with curvature > 0 is called a generalized helix if its tangent vector makes a fixed angle [mm] \theta [/mm] with a fixed unit vector a.
Show that the torsion [mm] \tau [/mm] and curvature [mm] \kappa [/mm] of [mm] \gamma [/mm] are related by [mm] \tau [/mm] = [mm] ±\kappa \cot \theta. [/mm]
Show conversely that, if the torsion and curvature of a regular curve are related by [mm] \tau [/mm] = [mm] \lambda \kappa [/mm] where [mm] \lambda [/mm] is a constant, then the curve is a generalized helix.
Den ersten Teil habe ich gezeigt...
Beim zweiten Teil wenn die Windung und die Krümmung die Relation [mm] \tau [/mm] = [mm] \lambda \kappa [/mm] erfüllen, wie zeigt man dass die Kurve eine verallgemeinerte Helix ist?
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> A regular curve [mm]\gamma[/mm] in [mm]\mathbb{R}^3[/mm] with curvature > 0
> is called a generalized helix if its tangent vector makes a
> fixed angle [mm]\theta[/mm] with a fixed unit vector a.
> Show that the torsion [mm]\tau[/mm] and curvature [mm]\kappa[/mm] of [mm]\gamma[/mm]
> are related by [mm]\tau[/mm] = [mm]±\kappa \cot \theta.[/mm]
> Show conversely that, if the torsion and curvature of a
> regular curve are related by [mm]\tau[/mm] = [mm]\lambda \kappa[/mm] where
> [mm]\lambda[/mm] is a constant, then the curve is a generalized
> helix.
>
>
> Den ersten Teil habe ich gezeigt...
>
> Beim zweiten Teil wenn die Windung und die Krümmung die
> Relation [mm]\tau[/mm] = [mm]\lambda \kappa[/mm] erfüllen, wie zeigt man
> dass die Kurve eine verallgemeinerte Helix ist?
Hallo mariem,
ich habe die Definition solcher "verallgemeinerter Helices"
bisher noch nicht angetroffen. Ich versuche mir nun aber eine
anschauliche Vorstellung einer solchen Kurve C zu machen.
O.B.d.A. dürfen wir etwa annehmen, dass der fix vorgegebene
Vektor a in die positive z-Richtung eines geeigneten x-y-z-
Koordinatensystems sei. Dann kann man sich die Kurve
als einen "Bergweg" vorstellen, der sich mit konstanter
Steigung $\ m\ =\ [mm] \frac{dz}{\sqrt{dx^2+dy^2}}$ [/mm] z.B.
einem gebirgigen Hang entlang emporwindet.
Der Verlauf einer derartigen (differenzierbaren) Kurve C in [mm] \IR^3
[/mm]
ist dann durch ihren "Grundriss" C' in der x-y-Ebene vollständig
festgelegt. Damit die Kurvenkrümmung nirgends verschwindet
(dies wäre bei einer Geraden C durchwegs der Fall), muss
man verlangen, dass die Grundrisskurve C' keine "Geradeaus-
Punkte" enthält. Mit anderen Worten: C' muss entweder
eine linksrum oder rechtsrum gewundene Kurve sein. Sie
darf keine Wendepunkte besitzen.
Nun vermute ich, dass schon diese Betrachtungsweise die
nötigen Ansätze für den zugehörigen Nachweis liefern
kann.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 24.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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