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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 10.03.2014 | | Autor: | klmn |
| Aufgabe | Beweis folgender Ungleichung
Ich habe irgendwie null Ahnung wie ich da ran gehen sollte.. Mit Induktion oder mit dem Binomischen Lehrsatz…
Wäre sehr glücklich , wenn ihr mir paar Tipps geben könntet.. |
[mm] \summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo klmn,
Wir freuen uns übrigens auch über eine nette Begrüßung.
> Beweis folgender Ungleichung
>
> Ich habe irgendwie null Ahnung wie ich da ran gehen
> sollte.. Mit Induktion oder mit dem Binomischen Lehrsatz…
Probieren. 
> Wäre sehr glücklich , wenn ihr mir paar Tipps geben
> könntet..
Okay.
> [mm]\summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k[/mm]
Falls du die Ungleichung nicht für alle [mm] x\in\IR [/mm] zeigen müsst,
sondern zum Beispiel für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] $x\ge [/mm] -1$, dann kannst
du auch die Bernoullische Ungleichung benutzen. Ansonsten
würde ich Induktion verwenden oder/und den binomischen Lehr-
satz für den mittleren Term benutzen. Zeige also:
[mm] \summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n [/mm] und [mm] (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 10.03.2014 | | Autor: | klmn |
Hallo  Tut mir leid bin leicht unter Stress.. Also erstmals vielen Dank für deine Antwort… ich muss die Ungleichung für x>0 zeigen und habe die mittlere Gleichung umgeformt (binomialkoeff.) und komm trotzdem nicht weiter.. aber trotzdem vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
Stell deine Fragen auch bitte als Fragen und nicht als Mit-
teilungen, denn das übersieht man leicht oft.
> Hallo Tut mir leid bin leicht unter Stress.. Also
> erstmals vielen Dank für deine Antwort… ich muss die
> Ungleichung für x>0 zeigen und habe die mittlere Gleichung
> umgeformt (binomialkoeff.) und komm trotzdem nicht weiter..
> aber trotzdem vielen Dank
Wenn du die Ungleichung für alle [mm] x\in\IR_{>0} [/mm] und [mm] n\in\IN_0 [/mm] zeigen
sollst, dann benutz den Tipp, den ich dir gegeben habe.
Bernoullische Ungleichung!
[mm] (1+x)^n\ge(1+nx) [/mm] für alle [mm] x\in\IR_{\ge-1} [/mm] und [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 11.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweis folgender Ungleichung
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> Ich habe irgendwie null Ahnung wie ich da ran gehen
> sollte.. Mit Induktion oder mit dem Binomischen Lehrsatz…
>
> Wäre sehr glücklich , wenn ihr mir paar Tipps geben
> könntet..
> [mm]\summe_{k=0}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=0}^{n} ((e*n*x)/k)^k[/mm]
Für k=0 sind die Ausdrücke [mm] \br{n*x}{k} [/mm] und [mm] \br{e*n*x}{k} [/mm] sinnlos !
Ist vielleicht das zu zeigen (für x>0):
[mm]\summe_{k=1}^{n} ((n*x)/k)^k \le (1+x)^n \le \summe_{k=1}^{n} ((e*n*x)/k)^k[/mm] ?
Wenn ja, so ist jedenfalls die rechte Ungleichung falsch !
Wäre [mm] (1+x)^n \le \summe_{k=1}^{n} ((e*n*x)/k)^k [/mm] für alle x>0 richtig, so auch für x=0 (Stetigkeit !)
Für x=0 hätten wir dann: 1 [mm] \le [/mm] 0.
Also: wie lautet die Aufgabe korrekt ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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