Vektorwertige Abbildungen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Di 14.11.2006 | | Autor: | measure |
Hallo, ich denke schon längere Zeit über folgendes Problem nach, das ich in Artikeln aus dem Bereich der Wirtschaftstheorie gelesen habe und gerne verstehen möchte:
Sei [mm]T:=[0,1][/mm] und [mm]f:T\rightarrow \mathbb{R}^n[/mm] eine messbare Abbildung.
Dann soll es möglich sein, diese Abbildung auch als [mm]g:\{1,\ldots,n\}\times T\rightarrow
\mathbb{R}[/mm] oder [mm]h:T^n\rightarrow \mathbb{R}[/mm] darzustellen. Insbesondere sei dann die Menge der Lebesgue-Integrierbaren Funktionen ([mm]L_1[/mm]) (bzw. die Menge der Äquivalenzklassen...) dieser drei Darstellungsweisen in irgendeiner Weise identisch.
Ich kann mir intuitiv vorstellen, dass die Äquivalenzen der Abbildungen nicht vollkommen unsinnig sind (wobei sich die Aussagen von Integralen dieser Abbildungen jedoch wesentlich unterscheiden müssten), ich finde jedoch kein Argument für eine mathematische Äquivalenz.
Meine bisherigen überlegungen waren, dass es wohl eine bijektive Abbildung zwischen diesen Darstellungen in irgendeiner Weise geben müsste und so eine äquivalente Darstellung geschaffen werden könnte. Leider fehlt mir in diesem Punkt jedoch derzeit mathematische Hintergrundwissen.
Des Weiteren ist mir nicht klar, wie Lebesgue-Integrierbarkeit im Falle von Abbildungen aussehen soll, die Werte in [mm]\mathbb{R}^n[/mm] annehmen. Ich kannte Lebesgue-Integrierbarkeit bisher nur für Abbildungen, die einen eindimensionalen Wertebereich haben. Nutze ich dann zum Nachweis der Integrierbarkeit statt des Betrages eine Norm auf [mm]\mathbb{R}^n[/mm]?
Ok, sind die Darstellugsweisen wirklich äquivalent, dann ließe sich im zweiten Fall sicherlich etwas über ein Doppelintegral mit Lebesgue-Maß und Punktmaß machen und im dritten Fall über [mm]n[/mm] Integrale und Produktmaße. Da es bei der Frage der Integrierbarkeit ja nur darauf ankommt, dass ein Integral des Betrages existiert, müsste dies dann in Darstellung zwei und drei genau dann der Fall sein, wenn in den ''koordinaten'' der ersten Darstellung die (dann wirklich) Lebesgue-Integrale existieren.
Meine Fragen sind daher: In welchem mathematischen Sinne sind die drei Darstellungen der Abbildungen äquivalent?
Wie funktioniert Lebesgue-Integrierbarkeit bei (endlich-) dimenionalen Wertebereichen?
Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo measure,
> Hallo, ich denke schon längere Zeit über folgendes Problem
> nach, das ich in Artikeln aus dem Bereich der
> Wirtschaftstheorie gelesen habe und gerne verstehen
> möchte:
>
> Sei [mm]T:=[0,1][/mm] und [mm]f:T\rightarrow \mathbb{R}^n[/mm] eine messbare
> Abbildung.
> Dann soll es möglich sein, diese Abbildung auch als
> [mm]g:\{1,\ldots,n\}\times T\rightarrow \mathbb{R}[/mm]
Das ist einleuchtend, denn eine vektorwertige funktion ist im grunde nichts anderes als ein n-tupel von 1-dimensionalen fkten
> oder
> [mm]h:T^n\rightarrow \mathbb{R}[/mm] darzustellen.
Das kommt mir sehr spanisch bzw. nicht nachvollziehbar vor. Bist du sicher,
dass du das GENAU so gelesen hast?
> Insbesondere sei
> dann die Menge der Lebesgue-Integrierbaren Funktionen ([mm]L_1[/mm])
> (bzw. die Menge der Äquivalenzklassen...) dieser drei
> Darstellungsweisen in irgendeiner Weise identisch.
> Ich kann mir intuitiv vorstellen, dass die Äquivalenzen
> der Abbildungen nicht vollkommen unsinnig sind (wobei sich
> die Aussagen von Integralen dieser Abbildungen jedoch
> wesentlich unterscheiden müssten), ich finde jedoch kein
> Argument für eine mathematische Äquivalenz.
> Meine bisherigen überlegungen waren, dass es wohl eine
> bijektive Abbildung zwischen diesen Darstellungen in
> irgendeiner Weise geben müsste und so eine äquivalente
> Darstellung geschaffen werden könnte. Leider fehlt mir in
> diesem Punkt jedoch derzeit mathematische
> Hintergrundwissen.
>
> Des Weiteren ist mir nicht klar, wie
> Lebesgue-Integrierbarkeit im Falle von Abbildungen aussehen
> soll, die Werte in [mm]\mathbb{R}^n[/mm] annehmen. Ich kannte
> Lebesgue-Integrierbarkeit bisher nur für Abbildungen, die
> einen eindimensionalen Wertebereich haben. Nutze ich dann
> zum Nachweis der Integrierbarkeit statt des Betrages eine
> Norm auf [mm]\mathbb{R}^n[/mm]?
> Ok, sind die Darstellugsweisen wirklich äquivalent, dann
> ließe sich im zweiten Fall sicherlich etwas über ein
> Doppelintegral mit Lebesgue-Maß und Punktmaß machen und im
> dritten Fall über [mm]n[/mm] Integrale und Produktmaße. Da es bei
> der Frage der Integrierbarkeit ja nur darauf ankommt, dass
> ein Integral des Betrages existiert, müsste dies dann in
> Darstellung zwei und drei genau dann der Fall sein, wenn in
> den ''koordinaten'' der ersten Darstellung die (dann
> wirklich) Lebesgue-Integrale existieren.
>
> Meine Fragen sind daher: In welchem mathematischen Sinne
> sind die drei Darstellungen der Abbildungen äquivalent?
s.o.
> Wie funktioniert Lebesgue-Integrierbarkeit bei (endlich-)
> dimenionalen Wertebereichen?
Das lesbesgue-integral einer vektorwertigen funktion ist imo einfach definiert als vektor der einzelnen skalaren integrale.
> Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte.
>
> Viele Grüße Stefan
>
Gruss
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:25 Do 16.11.2006 | | Autor: | measure |
Hallo MatthiasKr, danke für die schnelle Antwort.
> >
> > Sei [mm]T:=[0,1][/mm] und [mm]f:T\rightarrow \mathbb{R}^n[/mm] eine messbare
> > Abbildung.
> > Dann soll es möglich sein, diese Abbildung auch als
> > [mm]g:\{1,\ldots,n\}\times T\rightarrow \mathbb{R}[/mm]
>
> Das ist einleuchtend, denn eine vektorwertige funktion ist
> im grunde nichts anderes als ein n-tupel von
> 1-dimensionalen fkten
>
Ok, dies leuchtet mir im Prinzip schon irgendwie ein. Auch kann ich mir vorstellen, wie ich das jeweils ''konfigurieren'' muss. Doch gibt es ein formales Argument der Äquivalenz? ...und darüber, dass alle wesentlchen Eigenschaften erhalten bleiben?
>
> > oder
> > [mm]h:T^n\rightarrow \mathbb{R}[/mm] darzustellen.
>
> Das kommt mir sehr spanisch bzw. nicht nachvollziehbar vor.
> Bist du sicher,
> dass du das GENAU so gelesen hast?
>
Vielleicht habe ich das auch etwas falsch interpretiert. Die
Aussage, die ich versuche nachzuvollziehen, sieht folgendermaßen
aus (die englischen Worte sind Zitate aus dem Artikel):
Es gibt einen Satz von Dunford-Pettis: A subset [mm]K[/mm] of [mm]L_1(\mu)[/mm] has a weakly compact closure if (i) [mm]\sup_{f\in K}\int_T|f(t)|\dmu<\infty[/mm] and (ii) given [mm]\epsilon>0[/mm] there is a [mm]\delta>0[/mm] such that if [mm]\mu(A)\leq\delta[/mm] then [mm]\int_A|f(t)|d\mu\leq\epsilon[/mm].
Das Argument des Autors ist: "By viewing [mm]L_1(\mu,\mathbb{R}^n)[/mm] as the space of integrable functions, defined on [mm]\prod_{i=1}^n[0,1][/mm] endowed with the [mm]n[/mm]-fold product measure [mm]\mu\times\mu\times\cdots\times\mu[/mm] it is clear that the theorem applies to [mm]L_1(\mu,X)[/mm]." Hierbei ist [mm]X\subset \mathbb{R}^n[/mm] der Einheitssimplex.
[mm] \\
[/mm]
Meine Überlegung war nun, dass es also eine (wie auch immer) äquivalente Darstellung von [mm]f:T\rightarrow\mathbb{R}^n[/mm] als [mm]T^n\rightarrow\mathbb{R}[/mm] geben muss. Wenn dem nun nicht so ist, dann ist mir die ganze Sache etwas suspekt. Wie muss ich dies dann verstehen?
> > Des Weiteren ist mir nicht klar, wie
> > Lebesgue-Integrierbarkeit im Falle von Abbildungen aussehen
> > soll, die Werte in [mm]\mathbb{R}^n[/mm] annehmen. Ich kannte
> > Lebesgue-Integrierbarkeit bisher nur für Abbildungen, die
> > einen eindimensionalen Wertebereich haben. Nutze ich dann
> > zum Nachweis der Integrierbarkeit statt des Betrages eine
> > Norm auf [mm]\mathbb{R}^n[/mm]?
> > Ok, sind die Darstellugsweisen wirklich äquivalent,
> dann
> > ließe sich im zweiten Fall sicherlich etwas über ein
> > Doppelintegral mit Lebesgue-Maß und Punktmaß machen und im
> > dritten Fall über [mm]n[/mm] Integrale und Produktmaße. Da es bei
> > der Frage der Integrierbarkeit ja nur darauf ankommt, dass
> > ein Integral des Betrages existiert, müsste dies dann in
> > Darstellung zwei und drei genau dann der Fall sein, wenn in
> > den ''koordinaten'' der ersten Darstellung die (dann
> > wirklich) Lebesgue-Integrale existieren.
> >
Ok, mir war nicht klar, dass es komponentenweise definiert ist. Ich war
auf der Suche nach einem Lebesgue-Integral einer Funktion mit
Wertebereich in [mm] $\mathbb{R}^n$. [/mm] Wenn das die Definition ist, dann
ist es so ok.
> > Meine Fragen sind daher: In welchem mathematischen Sinne
> > sind die drei Darstellungen der Abbildungen äquivalent?
>
> Gruss
> Matthias
Danke und Gruss
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 23.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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