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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Fr 24.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Folgender Text steht in meinen Unterlagen von der Fernuni:
"Der Rang eines Vektorsystems ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren
dieses Systems. Er kann also offenbar höchstens so groß sein wie die Anzahl aller Vektoren
in diesem System. Er ist kleiner, wenn die Vektoren des gesamten Systems insgesamt
linear abhängig sind. Er kann im kleinsten Fall null sein, jedoch nur dann, wenn
das System nur aus Nullvektoren besteht – ein praktisch irrelevanter Extremfall. Sobald
in dem Vektorsystem mindestens ein vom Nullvektor verschiedener Vektor existiert, ist
der Rang des Systems mindestens gleich eins.
Um den Rang eines Vektorsystems {a1, . . . ,ak } zu bestimmen, kann man „aufbauend“
vorgehen, also zunächst zwei linear unabhängige Vektoren suchen, dann drei, dann
vier und so fort. Einfacher ist es aber, „abbauend“ vorzugehen, das heißt, Vektoren zu
suchen, die die lineare Unabhängigkeit zerstören.
Dazu untersucht man zunächst das gesamte System auf lineare Unabhängigkeit. Ist
diese gegeben, ist man schon fertig und der Rang ist k. Ist das gesamte System linear
abhängig, so untersucht man jeweils ein Teilsystem von k − 1 Vektoren; es gibt offenbar
k solcher Teilsysteme. Ein linear unabhängiges Teilsystem genügt aber zum Abbruch
des Verfahrens. Nur wenn alle k Teilsysteme linear abhängig sind, muss man die
(k − 2)-elementigen Teilsysteme untersuchen und so weiter."
Ich verstehe den letzten Satz nicht ansonsten habe ich alles verstanden und auch schon Übungsrechnungen gemacht;)
"Nur wenn alle k Teilsysteme linear abhängig sind, muss man die
(k − 2)-elementigen Teilsysteme untersuchen und so weiter."
Das bedeutet doch das der Rang 1 ist (wenn es sich nicht ausschließlich um Nullvektoren handelt). Was bedeutet die (k-2)-elememntigen Teilsysteme untersuchen?
Kann jemand evtl ein Beispiel posten damit man es versteht.
Danke im voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Betrachten wir den Fall k=3.
l.u. = linear unabhängig, l.a.= linear abhängig.
Wir haben also das System [mm] \{a_1,a_2,a_3\}. [/mm] Sei r:=Rang dieses Systems.
Fall 1: [mm] \{a_1,a_2,a_3\} [/mm] ist l.u. Dann sind wir fertig und es ist r=3.
Fall 2: [mm] \{a_1,a_2,a_3\} [/mm] ist l.a.
Die k-1=2 elementigen Teilsysteme sind
[mm] S_1= \{a_1,a_2\}, S_2= \{a_1,a_3\} [/mm] und [mm] S_3=\{a_2,a_3\}.
[/mm]
Fall 2.1: es gibt ein j [mm] \in \{1,2,3\} [/mm] mit [mm] S_j [/mm] ist l.u.
Dann sind wir fertig und es ist r=2.
Fall 2.2: die Systeme [mm] S_1,S_2 [/mm] und [mm] S_3 [/mm] sind alle l.a.
Dann betrachten wir die k-2=1 elementigen Teilsysteme:
[mm] T_1=\{a_1\}, T_2=\{a_2\} [/mm] und [mm] T_3=\{a_3\}
[/mm]
Fall 2.2.1: es gibt ein j [mm] \in \{1,2,3\} [/mm] mit [mm] T_j [/mm] ist l.u.
Dann sind wir fertig und es ist r=1.
Fall 2.2.2: die Systeme [mm] T_1,T_2 [/mm] und [mm] T_3 [/mm] sind alle l.a.
Das bedeutet: [mm] a_1=a_2=a_3=0 [/mm] und somit r=0
Hat das geholfen ?
FRED
P.S.: das:
"Er kann im kleinsten Fall null sein, jedoch nur dann, wenn
das System nur aus Nullvektoren besteht – ein praktisch irrelevanter Extremfall".
aus obigem Text gefällt mir ganz und gar nicht ! Das würde bedeuten, dass die Nullmatrix ein irrelevanter Extremfall wäre !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Fr 24.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> P.S.: das:
>
> "Er kann im kleinsten Fall null sein, jedoch nur dann,
> wenn
> das System nur aus Nullvektoren besteht – ein praktisch
> irrelevanter Extremfall".
>
> aus obigem Text gefällt mir ganz und gar nicht ! Das
> würde bedeuten, dass die Nullmatrix ein irrelevanter
> Extremfall wäre !
mich stört dabei am meisten das Wort *irrelevant*. Mit "Extremfall" könnte
ich noch leben. Ich glaube aber, hier geht es eher um das Auftreten in der
Praxis dieses Falls bei irgendwelchen *physikalischen Untersuchungen*.
P.S. Vielleicht ist an der Stelle auch einfach nur gemeint, dass dieser Fall in
dem Sinne ein *praktisch irrelevanter Extremfall* ist, weil es dann vollkommen
überflüssig ist, obiges Verfahren anzuwenden, da man direkt sieht, dass
dort ja nur der Nullvektor (k Mal) steht.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Fr 24.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Vielen Dank ihr seid super das hat mir gehofen jetzt habe ich es verstanden!!!
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