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Vektorsumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Mi 05.11.2014
Autor: Skyrula

Aufgabe
Gesucht sind Lösungen der Gleichung [mm] \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} [/mm] mit [mm] |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=l\neq [/mm] 0

Ob in 2- oder 3-Dimensionalen Raum ist egal. Ich denke, das es im 2 Dimensionalen leichter sein sollte.

Hallo,

Ich denke das es sich hier um ein gleichseitiges Dreieck handeln muss. Mit der Bedingung das die Beträge der Vektoren gleich sein müssen kann ich umgehen, jedoch kann ich das nicht in den Einklang mit [mm] \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} [/mm] bringen. Was ich auch probiere geht schief. kann mir jemand Helfen?

        
Bezug
Vektorsumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Mi 05.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Gesucht sind Lösungen der Gleichung
> [mm]\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}[/mm] mit
> [mm]|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=l\neq[/mm] 0
>  
> Ob in 2- oder 3-Dimensionalen Raum ist egal. Ich denke, das
> es im 2 Dimensionalen leichter sein sollte.

der 2-dimensionale Fall reicht, da die Summe von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] eh
in einer Ebene liegen muss (eine Gerade ist "kleiner" als eine Ebene).
Nach dem, was Du sagst, gehe ich aber davon aus, dass wir so speziell
bleiben, also uns in der Anschauungsgeometrie maximal des [mm] $\IR^3$ [/mm] bewegen...

>  Hallo,
>  
> Ich denke das es sich hier um ein gleichseitiges Dreieck
> handeln muss. Mit der Bedingung das die Beträge der
> Vektoren gleich sein müssen kann ich umgehen, jedoch kann
> ich das nicht in den Einklang mit [mm]\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}[/mm]
> bringen. Was ich auch probiere geht schief. kann mir jemand
> Helfen?

Du kannst o.E. annehmen, dass die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] auf dem
Einheitskreis liegen (d.h. o.E. sei [mm] $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=l=1$) [/mm] -
wobei wir jetzt einfach den [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der durch [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] aufgespannten
Ebene identifizieren (das brauchen wir aber eh nicht wirklich) - wobei dazu
gesagt sei, dass aus den genannten Bedingungen folgerbar ist, dass [mm] $\vec{a}$ [/mm] und
[mm] $\vec{b}$ [/mm] linear unabhängig sein müssen!

Dann ist auch

    [mm] $|\vec{c}|=(\vec{c}\bullet \vec{c})^{1/2}=1\,,$ [/mm]

wobei [mm] $\bullet$ [/mm] das "Standard-Skalarprodukt im euklidischen [mm] $\IR^2$ [/mm] ist".

Mit

    [mm] $1=1^2=\vec{c} \bullet \vec{c}=(\vec{a}+\vec{b}) \bullet (\vec{a}+\vec{b})=(\vec{a} \bullet \vec{a})+2*(\vec{a}\bullet \vec{b})+(\vec{b} \bullet \vec{b})^2$ [/mm]

erhältst Du wegen [mm] $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ [/mm]

    [mm] $\vec{a} \bullet \vec{b}=-\frac{1}{2}\,.$ [/mm]

Damit kannst Du den Winkel zwischen [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] berechnen...

P.S. Beachte:  Ist

    [mm] $\cos(\phi)=-1/2\,,$ [/mm]

so auch

    [mm] $\cos(2\pi-\phi)=-1/2\,.$ [/mm]

P.P.S. Skizziere Dir Deine Ergebnisse am Einheitskreis!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Vektorsumme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 Mi 05.11.2014
Autor: Skyrula

Geniale Hilfe!!!

Vielen Dank!

Bezug
                
Bezug
Vektorsumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mi 05.11.2014
Autor: Skyrula

könntest du noch einen Satz dazu sagen warum $ [mm] |\vec{c}|=(\vec{c}\bullet \vec{c})^{1/2}=1\, [/mm] $ ist? Das ist das einzige wo ich nicht ganz Hinterblicke.

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Vektorsumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 05.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> könntest du noch einen Satz dazu sagen warum
> [mm]|\vec{c}|=(\vec{c}\bullet \vec{c})^{1/2}=1\,[/mm] ist? Das ist
> das einzige wo ich nicht ganz Hinterblicke.

nach Voraussetzung war
  
    [mm] $|\vec{c}|=l\,,$ [/mm]

ich habe o.E. [mm] $l=1\,$ [/mm] angenommen (das sollte man durchaus auch in einem
Satz begründen, warum man das machen kann).

Im euklidischen [mm] $\IR^k$ [/mm] ($k=1,2,3$) gilt

    [mm] $|\vec{c}|^2=\vec{c} \bullet \vec{c}\,.$ [/mm]

Deswegen haben wir

    [mm] $|\vec{c}|^2=|\vec{c}|*|\vec{c}|=1*1=1$ [/mm]

und damit auch

    [mm] $\vec{c} \bullet \vec{c}=1$ [/mm]  

    [mm] $\Rightarrow$ $(\vec{c} \bullet \vec{c})^{1/2}=1^{1/2}=1\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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