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| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene e: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{3 \\ -2 \\ 2}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] in e liegt.
b) Welchen Abstand hat die Ebene e vom Ursprung ?
c) Welcher Punkt ergibt sich, wenn man den Urspriung an e spiegelt ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu a)
Wenn ich überprüfen soll dass die Gerade in der Ebene liegt, kann ich doch einfach hingehen und zwei Punkte dieser Geraden ausrechen (zb 1,2 für [mm] \lambda). [/mm] Dann erhalte ich ja sozusagen 2 Ortsvektoren [mm] \vec{rP1} [/mm] und [mm] \vec{rP2}
[/mm]
Nun kann ich ja den Abstand eines Punktes von einer Ebene mit folgender Formel ausrechnen:
d = | [mm] \vec{n} *(\vec{rQ} [/mm] - [mm] \vec{r1})| [/mm] / [mm] |\vec{n}|
[/mm]
wobei [mm] \vec{rQ} [/mm] der Ortsvektor eines Punktes ist.
Den Normalenvektor der Ebene hatte ich schnell ausgerechnet:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Wenn ich nun also für den Abstand 2x das Ergebnis 0 erhalte, liegt die Gerade auf der Ebene, oder ??
der Vektor [mm] \vec{r1} [/mm] ist doch in obigem Fall [mm] \vektor{4 \\0 \\0} [/mm] (der Ortsvektor Punkt-Richtungs-Form einer Ebene) ???
zu b) Ich nehm einfach als Punkt [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] und rechne wieder den Abstand aus ??
zu c) .... da habe ich ehrlich gesagt keinen Schimmer wie ich vorgehen sollte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi ghost,
also meine Kenntnisse in Vektorrechnung sind etwas eingerostet, also muss ich dir mal bei den Formeln vertrauen.
Zu a) ja so, müsste es gehn, sieht gut aus.
zu b) ja einfach den Abstand vom Ursprung.
zu c). Bau dir eine Gerade vom Ursprung aus, als Richtungsvektor nimm den Normalenvektor der Ebene. der Abstand vom Urprung zum gespiegelten Punkt müsste einfach der doppelte des Abstandes vom Ursprung zur Ebene sein. Denk nochmal drüber nach, aber ich glaub, so kommst du hin. Einfach auf der Geraden entlang, bis dein Abstand "stimmt".
Ich hoffe, ich konnte helfen,
l G Walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 14.03.2006 | | Autor: | wicwac |
Bezüglich a) würde ich wie folgt vorgehen:
Den Normalenvektor der Ebene, den du schon richtig ausgerechnet hast, einfach skalar mit dem Richtungsvektor der Geraden multiplizieren und durch das Produkt ihrer Beträge teilen. Das ergibt null, der cos^-1 von null sind 90°, Ergebniss der Richtungsvektor der Geraden liegt somit in der Ebene e.
cos^-1 [mm] \delta=$ \vec{n} [/mm] $ * [mm] $\vec{rg}$ [/mm] / |$ [mm] \vec{n} [/mm] $| * [mm] |$\vec{rg}$|
[/mm]
Denk immer daran, das der Normalvektor orthogonal d.h. rechtwinklig auf den beiden kreuzmultiplizierten Vektoren steht, soll ein weiter Vektor in dieser Ebene liegen, nämlich der Richtungsvektor der Geraden, dann muß also auch hier der Winkel 90° betragen.
Der einfachste Weg des Nachweises ist jedoch eine dreier Determinante aus den Spaltenvektoren zubilden, das Ergebniss muß Null ergeben.
1.Der Differenzvektor der beiden Ortsvektoren von der Ebene (4,0,0) und der Geraden (2,0,-2) [mm] \Rightarrow [/mm] -(4,0,0)+(2,0,-2)=(-2,0,-2)
2. Richtungsvektor der Ebene (1,-2,0)
3.Richtungsvektor der Geraden (1,2,2)
Die Determinante ergibt Null
-2 1 1
0 -2 2 = 0
-2 0 2
ZU b) Die Ortsvektoren beschreiben natürlich auch einen Abstand zur Ebene, aber wenn wie hier nach dem Abstand gefragt wird, ist der kürzeste Weg gemeint. Dies kann nur der Vektor sein, der vom Ursprung zur Ebene führt und auf dieser rechtwinklig steht.
Also musst du aus den beiden Ortsvektoren von Ebene und Geraden den Differenzvektor bilden. Zeichnerisch ergibt sich nun ein Dreieck dessen Höhe der gesuchte Abstand ist.
h= 2*A/g
A = Der Betrag (8) des Vektorprodukts der Ortsvektoren (0,-8,0).
g = Betrag von Differenzvektor [mm] \wurzel{8}
[/mm]
h = [mm] \wurzel{32} [/mm] hab ich raus,
um den Betrag des Abstandes wieder in einen Vektor umzuwandeln, teilt man eins durch diesen Betrag also [mm] \wurzel{32} [/mm] und multipliziert das Ergebnis mit den Komponenten des Normalvektors (0,-8,0), damit bekommst du (0, - [mm] \wurzel{2} [/mm] ,0) als Ergebnis raus.
zu c) fällt mir gerade nichts ein
war mein erster Beitrag und ich hoffe er hilft dir weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 15.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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