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Vektorrechnung: Flächeninhalt bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Fr 19.06.2015
Autor: Jura86

Aufgabe 1
Begründen Sie:
Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms mit den Seiten u,v ∈ [mm] R^3 [/mm] und dem davon eingeschlossenen Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt

i)  A = |u||v| sin [mm] \alpha [/mm] ,

ii) A = | u × v |

Für die erste Identität sollte man die grundlegende Formel “Flächeninhalt = Grundseite · Höhe” benutzen. Beim Nachweis der zweiten Identität hilft die für alle x ∈ R gültige Formel [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x = 1.


Aufgabe 2
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von u = (√2,√2,√2) und
v = (11,−10,11) aufgespannten Parallelogramms.


Zu Aufgabe 1.
Wie kann sowas nachweisen ?
Ich habe folgendes versucht:

für u = (1,2,3) gewählt
für v = ( 4,5,6) gewählt
[mm] \alpha [/mm] = 60° gewählt

in die Formel A =  |u||v| sin [mm] \alpha [/mm] ,
eingesetzt .

A= [mm] \vektor{1 \\ 2\\3 } [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 5\\6} [/mm] * sin(60)

= [mm] \vektor{4 \\ 10\\18} [/mm] * sin (60)

bin ich da auf dem richtigen weg ? Ich befürchte es macht so wenig Sinn ..

ii) hier habe ich das Skalarprodukt gebildet. Das ist denke ich falsch.
    Wie muss ich vorgehen ?

[mm] \vektor{1 \\ 2\\3 } \times \vektor{4 \\ 5\\6} [/mm] = 32



Zu Aufgabe 2.

Ich bin so angefangen :

u = (√2,√2,√2)
v = (11,−10,11)

A =  |u||v| sin [mm] \alpha [/mm]

A= [mm] \vektor{√2 \\√2 \\√2 } \times \vektor{11\\-10\\11} [/mm] * sin [mm] \Alpha [/mm]


wie komme ich zu Lösung in dieser Aufgabe ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.





        
Bezug
Vektorrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Fr 19.06.2015
Autor: chrisno


> ...  
> Zu Aufgabe 1.
> Wie kann sowas nachweisen ?
>  Ich habe folgendes versucht:
>  
> für u = (1,2,3) gewählt
>  für v = ( 4,5,6) gewählt
>  [mm]\alpha[/mm] = 60° gewählt

Das ist zum Ausprobieren ganz nett, aber taugt nicht für einen Nachweis.

>  
> in die Formel A =  |u||v| sin [mm]\alpha[/mm] , eingesetzt .
>  
> A= [mm]\vektor{1 \\ 2\\3 }[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 5\\6}[/mm] * sin(60)

Da hast Du die Betragsstriche nicht beachtet. [mm] $\left|\vektor{x\\y\\z}\right| [/mm] = [mm] \sqrt{^2+y^2+z^2}$ [/mm]

>  
> = [mm]\vektor{4 \\ 10\\18}[/mm] * sin (60)

und auch das wäre falsch, weil das Ergebnis des Skalarprodukts ein Skalar ist und kein Vektor.

>  
> bin ich da auf dem richtigen weg ? Ich befürchte es macht
> so wenig Sinn ..

Leider hast Du recht. Zeichne ein Parallelogramm auf ein Blatt. Nenne die eine Seite [mm] $\vec{u}$ [/mm] und die andere [mm] $\vec{v}$. [/mm] Wie kannst Du die Länge einer Höhe in diesem Parallelogramm berechnen?

>  
> ii) hier habe ich das Skalarprodukt gebildet. Das ist denke ich falsch.
>      Wie muss ich vorgehen ?
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\3 } \times \vektor{4 \\ 5\\6}[/mm] = 32

STOP!!!
Bearbeite keine Aufgabe dieser Art mehr, bevor Du nicht die Symbole und deren Bedeutung kennst.
Du schreibst zuerst Skalarprodukt, dann nimmst Du das Symbol x für das Kreuzprodukt und dann rechnest Du wieder das Skalarprodukt.

Die Verwendung des Skalrprodukts bringt dich nicht weiter. Du musst nun zeigen, dass
|u||v| sin$ [mm] \alpha [/mm] $ | u × v |.
Dazu legst Du am besten u und v in die x-y-Ebene und dann noch u entlang der x-Achse. Dann berechne die x und y-Komponente von u und v und mit diesen das Kreuzprodukt. Der Betrag des Ergebnisvektors ist Dein Ziel.

>  
>
>
> Zu Aufgabe 2.
>  
> Ich bin so angefangen :
>  
> u = (√2,√2,√2)
>  v = (11,−10,11)
>  
> A =  |u||v| sin [mm]\alpha[/mm]
>
> A= [mm]\vektor{√2 \\√2 \\√2 } \times \vektor{11\\-10\\11}[/mm] * sin [mm]\alpha[/mm]

Das ist falsch.

>  
>
> wie komme ich zu Lösung in dieser Aufgabe ?

s.o.: Du musst erst die Bedeutung der Symbole kennen. Vorher hast Du keine Chance.


Bezug
                
Bezug
Vektorrechnung: Pause
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Sa 20.06.2015
Autor: Jura86

Auch hier, ich werde mich erstmal mit anderen Aufgaben beschäftigen bevor ich hier weitermache.

Komme später drauf zurück.

Bezug
                        
Bezug
Vektorrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Sa 20.06.2015
Autor: chrisno

Das ist gar nicht viel. Dann kannst Du auch in diesem Thread weitermachen.

Bezug
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