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Vektorrechnung: Parallelogramm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 So 14.06.2015
Autor: Jura86

Aufgabe 1
Bestimmen Sie D ∈ [mm] R^3 [/mm] so, dass  A = 0, B = (4,1,−1), C =(2,0,−1) zusammen mit D ein Parallelogramm ABCD (in dieser Reihenfolge) bilden. Wie ändert sich die Antwort im Fall A =(1,1,1)

Aufgabe 2
Zeigen Sie für beliebige u, v  ∈ [mm] R^3 [/mm]  :
|u + [mm] v|^2 [/mm] = [mm] |u|^2 +|v|^2 [/mm] ⇐⇒ u·v = 0
Was bedeutet das für das durch u,v aufgespannte Parallelogramm? Hinweis: für x ∈ [mm] R^3 [/mm] gilt bekanntlich (warum nämlich?) [mm] |x|^2 [/mm] = x·x

Aufgabe 3
Skizzieren Sie für gegebene u,v [mm] ∈R^2 [/mm] die Menge
[mm] \{\alpha *u+(1-\alpha)v|0\le\alpha\le 1\} [/mm]
Betrachten Sie dazu z.B. [mm] \Alpha [/mm] = 1/2 , 1/4 , 3/4 ...

Zu Aufgabe 1:
Für D habe ich ( 6,2-1) raus ist das richtig ?
Und für  A=( 1,1,1) habe ich keine Parallität weil der Vektor CD (3,0,2)ist
und daher ist das dann kein Parallelogramm.

Zu Aufgabe 2 :
Was muss ich in dieser Aufgabe machen ?
Muss ich hier mit Bin. Formel arbeiten z.b für [mm] |u+v|^2 [/mm] ?
Oder soll ich für z.b. für u (1,2,3) und v (4,5,6) wälen ?
Wie ist der Ansatz für so eine Aufgabe ?

Zu Aufgabe 3 :
Wie kann ich rausfinden im welchen Bereich diese Mengen sind ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Vektorrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 So 14.06.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

>  Zu Aufgabe 1:
> Für D habe ich ( 6,2-1) raus ist das richtig ?

Nein. Denk dran, [mm] \vec{CD}=\vec{D}-\vec{C} [/mm] muß parallel und gleich lang wie  [mm] \vec{AB}=\vec{B}-\vec{A} [/mm] sein, genauer, bei dieser Definition [mm] \vec{CD}=-\vec{AB} [/mm] .


>  Und für  A=( 1,1,1) habe ich keine Parallität weil der
> Vektor CD (3,0,2)ist
> und daher ist das dann kein Parallelogramm.

Es ist klar, daß das mit einem anderen A kein Parallelogramm mehr gibt. Die Aufgabe meint aber eher, wie du [mm] \vec{D} [/mm] wählen musst, wenn [mm] \vec{A} [/mm] diesen neuen Wert annimmt.


  

> Zu Aufgabe 2 :
>  Was muss ich in dieser Aufgabe machen ?
>  Muss ich hier mit Bin. Formel arbeiten z.b für [mm]|u+v|^2[/mm] ?
>  Oder soll ich für z.b. für u (1,2,3) und v (4,5,6)
> wälen ?

Das bringt dir nichts, weil du damit nur zeigst, daß diese Werte weder die erste noch die zweite Formel erfüllen. Die Aussage ist: WENN Werte die erste Formel erfüllen, DANN auch die andere, und umgekeht. Es nützt auch nichts, das mit den Vektoren [mm] \vec{u}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vec{v}=\vektor{0\\1\\0} [/mm] durchzurechnen, welche tatsächlich beide Formel erfüllen, denn dann weißt du, daß genau diese Werte die Formeln erfüllen. Aber du sollst es ja allgemein zeigen.


>  Wie ist der Ansatz für so eine Aufgabe ?

Wie du schon angedeutet hast, setze mal [mm] \vec{u}=\vektor{u_x\\u_y\\u_z} [/mm] und [mm] \vec{v}=\vektor{v_x\\v_y\\v_z} [/mm] ein, rechne ein wenig, und schau, ob du einen Zusammenhang erkennst.



> Zu Aufgabe 3 :
>  Wie kann ich rausfinden im welchen Bereich diese Mengen
> sind ?

Nunja, da steht ja schon, daß du einfach mal [mm] $\alpha=\frac{1}{4}, [/mm] \ [mm] \frac{1}{2},\ \frac{3}{4}$ [/mm] einsetzen sollst. Setze gerne [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \alpha=1 [/mm] ein, obwohl diese Werte grade eben nicht mehr dazu gehören. Dann zeichne auf ein Blatt zwei beliebige Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{u}, [/mm] sowie die Vektoren, die du hier ausgerechnet hast.

Bezug
        
Bezug
Vektorrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Mo 15.06.2015
Autor: fred97

Zu Aufgabe 2: Hinweise sind dazu da, dass man sie benutzt. Oben stand als Hinweis:

    $ [mm] |x|^2 [/mm]  = x*x $ .

Damit ist [mm] $|u+v|^2=(u+v)*(u+v)=u*u+2*u*v+v*v=|u|^2+2*u*v+|v|^2$ [/mm]

FRED

Bezug
        
Bezug
Vektorrechnung: Parallelogramm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Fr 26.06.2015
Autor: Jura86

habe das jetzt nachgerechnet und habe für D = (5,0,-1) raus

Bezug
                
Bezug
Vektorrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Fr 26.06.2015
Autor: M.Rex


> habe das jetzt nachgerechnet und habe für D = (5,0,-1)
> raus

Mit A(1|1|1) stimmt das.

Marius

Bezug
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