Vektorraumisomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi,
Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung und habe eine Frage zum Vektorraumisomorphismus:
Wenn ich eine gegebene Abbildung habe und diese auf den Isomorphismus prüfen soll, ist das ja recht einfach. Ich muss nur zeigen, dass sie injektiv, surjektiv und linear ist.
Wenn ich eine Matrix als Abbildung gegeben habe, dann weiß ich schon, dass diese linear ist. Wie prüfe ich dabei am besten Surjektivität und Injektivität?
Injektivität wäre dann doch:
A*x [mm] \not= [/mm] A*y mit x [mm] \not= [/mm] y und das dann entsprechend lösen.
Nur zur Surjektivität fällt mir gerade nichts ein, außer A*x = A' und dann irgendwie die Surjektivität "sehen".
Der Umgekehrte Fall wäre eine solche Abbildung zu finden:
Gegeben seien da z.B. zwei Basisfolgen B,B' die den Vektorraum V und W aufspannen, wobei die Abbildung dann f: V [mm] \to [/mm] W. Ist |B| = |B'| ist das ja einfach, dann sieht [mm] f(v_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] aus mit v [mm] \in [/mm] B und w [mm] \in [/mm] B'. Aber was wenn die Mächtigkeit der Basen ungleich sind? Dann kann ich doch kein Isomorphismus zwischen den beiden Vektorräumen finden, da die resultierende Abbildung nie bijektiv sein könnte oder?
Nur der Vollständigkeit halber, wie könnte ich denn allgemein eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (bzw. dessen Basen) finden? Wenn ich hier nun den Vergleich zwischen Abbildung und Funktion hernehme, dann könnte ich die einzelnen Werte der Basisfolgen als X und Y betrachten und entsprechend eine "Grundgleichung" zugrunde legen, ein Gleichungssystem aufstellen und dann die Faktoren entsprechend berechnen, aber das wäre in diesem Fall nicht so einfach möglich denke ich ;)
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> Hi,
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> Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung und habe eine
> Frage zum Vektorraumisomorphismus:
> Wenn ich eine gegebene Abbildung habe und diese auf den
> Isomorphismus prüfen soll, ist das ja recht einfach. Ich
> muss nur zeigen, dass sie injektiv, surjektiv und linear
> ist.
> Wenn ich eine Matrix als Abbildung gegeben habe, dann weiß
> ich schon, dass diese linear ist. Wie prüfe ich dabei am
> besten Surjektivität und Injektivität?
> Injektivität wäre dann doch:
> A*x [mm]\not=[/mm] A*y mit x [mm]\not=[/mm] y und das dann entsprechend
> lösen.
> Nur zur Surjektivität fällt mir gerade nichts ein, außer
> A*x = A' und dann irgendwie die Surjektivität "sehen".
Hallo,
gaaaaaanz wichtig: [mm] f_A [/mm] ist injektiv <==> Kern [mm] A=\{0\}.
[/mm]
Surjektiv: die Dimension des Bildes muß = der Dimension des raumes sein, in den hinein abgebildet wird.
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> Der Umgekehrte Fall wäre eine solche Abbildung zu finden:
> Gegeben seien da z.B. zwei Basisfolgen B,B' die den
> Vektorraum V und W aufspannen, wobei die Abbildung dann f:
> V [mm]\to[/mm] W. Ist |B| = |B'| ist das ja einfach, dann sieht
> [mm]f(v_{i})[/mm] = [mm]w_{i}[/mm] aus mit v [mm]\in[/mm] B und w [mm]\in[/mm] B'.
Genau.
> Aber was
> wenn die Mächtigkeit der Basen ungleich sind?
Dann können die Räume nicht isomorph sein.
> Nur der Vollständigkeit halber, wie könnte ich denn
> allgemein eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (bzw.
> dessen Basen) finden? Wenn ich hier nun den Vergleich
> zwischen Abbildung und Funktion hernehme, dann könnte ich
> die einzelnen Werte der Basisfolgen als X und Y betrachten
> und entsprechend eine "Grundgleichung" zugrunde legen, ein
> Gleichungssystem aufstellen und dann die Faktoren
> entsprechend berechnen, aber das wäre in diesem Fall nicht
> so einfach möglich denke ich ;)
Hier versteh ich nicht recht, was Du willst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Alles klar, danke danke! So in etwa dachte ich mir das auch, danke für die treffende Formulierung ;)
Also zur zweiten Frage:
Ich habe ein Vektorraum V mit Basisfolge B = { [mm] v_{1},..,v_{n} [/mm] } und Vektorraum W mit Basisfolge B' = { [mm] w_{1},..,w_{m} [/mm] } wobei n [mm] \not= [/mm] m gegeben. Ein Aufgabe könnte dann lauten "Finden Sie eine Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W die injektiv (oder surjektiv oder linear oder...) ist.
Wie könnte ich da am geschicktesten vorgehen? Erstmal würde es doch reichen eine Abbildung g: B [mm] \to [/mm] B' zu finden oder nicht? Und dann müsste ich "nur" die Definition anwenden, also bei Injektivität z.B.
f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) mit x [mm] \not= [/mm] y , x,y [mm] \in [/mm] B
Aber wie könnte ich dabei nun geschickterweise eine Abbildung finden die die gewollten Eigenschaften erfüllt, ohne rumzuprobieren und zu schauen ob die Eigenschaften passen?
Die Möglichkeiten der verschiedenen Abbildungen müsste ich doch noch einschränken können, sodass ich relativ schnell auf eine passende komme oder nicht?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also zur zweiten Frage:
> Ich habe ein Vektorraum V mit Basisfolge B = {
> [mm]v_{1},..,v_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und Vektorraum W mit Basisfolge B' = {
> [mm]w_{1},..,w_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} wobei n [mm]\not=[/mm] m gegeben. Ein Aufgabe
> könnte dann lauten "Finden Sie eine Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W
> die injektiv (oder surjektiv oder linear oder...) ist.
Hallo,
wenn n<m ist, kann das mit der Surjektivität nicht klappen.
Wenn [mm] n\ge [/mm] m ist, organisierst Du die Abbildung einfach so, daß auf jeden Basisvektor [mm] w_i [/mm] mindestens ein Basisvektor [mm] v_j [/mm] abgebildet wird.
Wenn n>m gibt's Du keine injektive lineare Abbildung.
Wenn [mm] n\le [/mm] m, dann ordnest Du sämtlichen [mm] v_i [/mm] jeweils verschiedene [mm] w_i [/mm] zu.
Gruß v. Angela
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