Vektorraumeigenschaften < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Di 12.06.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | | Überprüfen Sie [mm] bei(V,\oplus,\odot) [/mm] alle Vektorraumeigenschaften |
Gegeben sei die Menge V = [mm] \IR, [/mm] sowie die innere Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] und die Abbildung [mm] \odot:
[/mm]
[mm] \oplus: [/mm] V x V [mm] \to [/mm] V
(a,b) [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \oplus [/mm] b = [mm] a+b-\pi
[/mm]
[mm] \odot: \IR [/mm] x V [mm] \to [/mm] V
[mm] (\alpha,a) \mapsto \alpha \odot [/mm] a = [mm] \alpha*(a-\pi)+\pi
[/mm]
Wie habe ich hier vorzugehen?
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Hi Incibus,
so doof wie's klingt, aber einfach wie's dasteht, die ganzen Axiome für nen Vektorraum nachrechnen.
zuerst muss [mm] (V,\oplus), [/mm] also hier [mm] (\IR,\oplus) [/mm] ne abelsche Gruppe sein
Dann gibts verschiedene Axiome, die die VErträglichkeit mit der Multiplikation mit Skalaren aus dem Grundkörper - hier [mm] \IR [/mm] -
regeln (bei dir [mm] \odot)
[/mm]
DU musst halt nur statt des + und [mm] \cdot{} [/mm] deine oben definierten Verknüpfungen [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot [/mm] zugrunde legen.
EInfach stur nachrechnen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Di 12.06.2007 | | Autor: | Incibus |
hört sich glab ich auch doof an, aber ich weis wirklich nicht, wie ich das ganze hinschreiben soll...
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Hmm,
ich verstehe deine Schwierigkeit nicht ganz - was ist genau das Problem?
Ich machs mal für die Distributivität exemplarisch, dann siehste wie das fluppt.
Also zz.: (unter anderem  )
[mm] $\forall \lambda\in\IR\forall a,b\in V=\IR:\lambda\odot(a\oplus b)=(\lambda\odot a)\oplus(\lambda\odot [/mm] b)$
Also seien [mm] \lambda,a,b\in\IR:
[/mm]
[mm] $\lambda\odot(a\oplus b)=\lambda\odot(a+b-\pi)=\lambda\cdot{}(a+b-\pi-\pi)+\pi=\red{\lambda\cdot{}a+\lambda\cdot{}b-2\lambda\pi+\pi}$
[/mm]
andererseits:
[mm] $(\lambda\odot a)\oplus(\lambda\odot b)=(\lambda(a-\pi)+\pi)\oplus(\lambda(b-\pi)+\pi)=(\lambda\cdot{}a-\lambda\pi+\pi)\oplus(\lambda\cdot{}b-\lambda\pi+\pi)=\lambda\cdot{}a-\lambda\pi+\pi+\lambda\cdot{}b-\lambda\pi+\pi-\pi$
[/mm]
[mm] $=\red{\lambda\cdot{}a+\lambda\cdot{}b-2\lambda\pi+\pi}=\lambda\odot(a\oplus [/mm] b)$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
Irgendwie stehe ich bei dem Problem wohl total aufm Schlauch, wie kommst du auf:
[mm] \lambda\cdot{}(a+b-\pi-\pi)+\pi
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nenne doch für kurze Zeit einfach das was du mit [mm] \lambda [/mm] multiplizieren muss c, d.h. [mm] c=a+b-\pi [/mm] dan bilde [mm] \lambda\odot [/mm] c und setz danach c wieder ein, dann siehst dus!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
Irgendwie macht´s nicht "klick" bei mir :-(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
bis auf das letzte [mm] +\pi [/mm] ist es mir klar, nur keine ahnung wie ich auf dies komme
$ [mm] \lambda\cdot{}(a+b-\pi-\pi)+\pi [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Definition von [mm] \odot [/mm] stand doch
[mm] \lambda \odot [/mm] c [mm] =\lambda*(c-\pi)+\pi
[/mm]
darin solltest du das [mm] c=a+b-\pi [/mm] eisetzen.
du musst dich wirklich geau an die definitionen von [mm] \odot [/mm] und [mm] \oplus [/mm] halten, wenn du die Gesetze verwenden willst und das Objekt, auf das du sie anwendest in ne Klammer zu setzen, oder eben c zu nennen hilft, solange du in sowas noch ungeübt bist.
(nachdem dus kapiert hast, musst dus nicht beim Abgeben von Übungen so aufschreiben, aber auch das schadet nix
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
d.h. also: Ich schreibe für $ [mm] =\lambda\cdot{}(c-\pi)+\pi [/mm] $ und für das a setze ich die Definition von [mm] \oplus [/mm] = [mm] a+b-\pi [/mm] ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> d.h. also: Ich schreibe für [mm]=\lambda\cdot{}(c-\pi)+\pi[/mm] und
> für das a setze ich die Definition von [mm]\oplus[/mm] = [mm]a+b-\pi[/mm]
> ein?
Wenn es noch immer um die ursprüngliche Frage geht versteh ich nicht was du fragst. Wir hatten doch kurzzeitig [mm] c=a+b-\pi [/mm] gesetzt weil du die Umformung [mm] \lambda*\odot(a+b-\pi)=\lambda*(a+b-\pi-\pi)+\pi [/mm] nicht verstanden hattest.
wieso jetzt plötzlich was für a einsetzen?
Kannst du deine Frage präzisieren?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
Sry, verschreiben, meinte nicht a sondern c!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh die Frage noch immer nicht. für [mm] \lambda\odotc [/mm] stzt du die Def. von [mm] \odot [/mm] eein nix mit [mm] \oplus, [/mm] dann ersetzt du c wieder durch [mm] a+b-\pi
[/mm]
Wenn noch ne Frage ist, entweder zitieren oder ausführlicher.
Hast du die ursprüngliche Umformung denn jetzt kapiert?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
> Hallo
> in deiner Definition von [mm]\odot[/mm] stand doch
> [mm]\lambda \odot[/mm] c [mm]=\lambda*(c-\pi)+\pi[/mm]
> darin solltest du das [mm]c=a+b-\pi[/mm] eisetzen.
das was du hier als c definierst ist doch eigentlich nichts weiter als die Definition unter [mm] \oplus [/mm] oder sehe ich das falsch.
ansonsten ist die rechnung nun klar..
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, [mm] c=a\oplus [/mm] b
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Incibus |
vielen dank für die Hilfe 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Ich glaube, ich habe immernoch Probleme damit, kann mir evtl. wer die restlichen 7 "Beweise" noch hinschriben.. evtl. verstehe ich die sache dann endgültig..
mfg Incibus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich weisst du, dass es so bei uns nicht läuft.
sondern DU versuchst, wir korrigieren.
DU willst ja was lernen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Incibus |
verständlich, bei mir hängt es zur zeit mal wieder am ansatz.
also mal wieder ganz von vorne :
um jetzt z.b. die Assoziativität zu beweisen:
[mm] \forall\alpha \beta \in \IR \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V : [mm] \alpha\odot(\beta\odot [/mm] x) = [mm] (\alpha*\beta)\odot [/mm] x
setze ich in diesem Fall für x jetzt [mm] a+b-\pi [/mm] ein? und alle [mm] \odot [/mm] ersetze ich durch [mm] (a-\pi)+\pi???
[/mm]
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> um jetzt z.b. die Assoziativität zu beweisen:
>
> [mm]\forall\alpha \beta \in \IR \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] V :
> [mm]\alpha\odot(\beta\odot[/mm] x) = [mm](\alpha*\beta)\odot[/mm] x
>
> setze ich in diesem Fall für x jetzt [mm]a+b-\pi[/mm] ein? und alle
> [mm]\odot[/mm] ersetze ich durch [mm](a-\pi)+\pi???[/mm]
Hallo,
wenn zwei Elemente durch [mm] \odot [/mm] verknüpft werden, mußt Du die im ersten Post def. Verknüpfungsvorschrift verwenden.
Berechne in [mm] \alpha\odot(\beta\odot[/mm] [/mm] x) doch erstmal die innere Klammer.
[mm] \alpha\odot(\beta\odot[/mm] x)=\alpha\odot(...)
[/mm]
Wenn Du das hast, verknüpfst Du [mm] \alpha [/mm] und Dein neues Element gemäß Vorschrift.
In [mm] (\alpha*\beta)\odot [/mm] x hast Du vorne ein Elemnt aus [mm] \IR, [/mm] nämlich [mm] (\alpha*\beta), [/mm] welches Du nun durch [mm] \odot [/mm] mit x verknüpfst.
Wenn es Dir leichter fällt, kannst Du ja sagen [mm] \gamma:=(\alpha*\beta). [/mm] Dann berechnest Du [mm] \gamma \odot [/mm] x, und ersetzt hinterher [mm] \gamma [/mm] wieder durch [mm] (\alpha*\beta).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Incibus |
also:
[mm] \alpha \odot (\beta [/mm] * [mm] (a-\pi)+ \pi)= \alpha \odot (\beta [/mm] a - [mm] \beta \pi [/mm] + [mm] \pi) [/mm] ???
und dann weiter mit:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] (a-\pi)+\pi [/mm] * [mm] (\beta [/mm] a [mm] -\beta \pi [/mm] + [mm] \pi) [/mm] ???
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Hallo,
könntest Du bitte genau sagen, was Du gerade ausrechnen möchtest?
[mm] \alpha\odot(\beta\odot [/mm] x) kann's irgendwie nicht sein, denn ich sehe weit und breit kein x.
Aber wolltest Du nicht eigentlich [mm] \alpha\odot(\beta\odot [/mm] x) berechnen?
Und noch ein Tip:
wenn Du im Verlauf Deiner Rechnungen [mm] \alpha\odot [/mm] (blabla) bekommst, dann setze blabla=t, berechne [mm] \alpha\odot [/mm] t. Zum Schluß setzt Du dann für t wieder blabla ein. So macht man sich's etwas leichter, wenn man eh schon am Rand der irreversiblen Hirnverknotung entlangschliddert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Incibus |
wie gesagt, ich verstehe das irgendwie nicht ^^
dachte mein x ist nun [mm] (a-\pi)+\pi
[/mm]
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> wie gesagt, ich verstehe das irgendwie nicht ^^
>
> dachte mein x ist nun [mm](a-\pi)+\pi[/mm]
Ich habe mir nun zugegebenermaßen nicht den ganzen Thread durchgelesen...
Ich war der Meinung, Daß Du ziegen willst, daß für alle [mm] x\in [/mm] V und für alle [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] gilt
[mm] \alpha\odot(\beta\odot x)=(\alpha*\beta)\odot [/mm] x.
Stellen wir das kurz zurück.
Ich bekomme das Gefühl, daß Du die verknüpfung [mm] \odot [/mm] nicht im geringsten verstanden hast.
Schauen wir nochmal auf die Definition:
$ [mm] \odot: \IR [/mm] $ x V $ [mm] \to [/mm] $ V
$ [mm] (\alpha,a) \mapsto \alpha \odot [/mm] $ a = $ [mm] \alpha\cdot{}(a-\pi)+\pi [/mm] $
[mm] \odot [/mm] verknüpft also jeweils eine reelle Zahl mit einem Element aus V.
Nun gucken wir mal, was sich für [mm] v\in [/mm] V und die reele Zahl 5 ergibt:
[mm] 5\odot [/mm] v= [mm] 5*(v-\pi)+\pi=5v-4\pi. [/mm] (Nun könnte man stutzig werden und sich fragen."wie kann ich [mm] 4\pi [/mm] von einem Vektor abziehen?"
Des Rätsels Lösung: man konnte eingangs lesen [mm] V=\IR, [/mm] also ist v auch eine reelle Zahl.)
[mm] 7\odot k=7*(k-\pi)+\pi
[/mm]
[mm] 9\odot 4=9*(4-\pi)+\pi.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du nach dieser Erklärung nun zumindest das [mm] (\beta\odot [/mm] x) in [mm] \alpha\odot(\beta\odot [/mm] x) richtig berechnen kannst.
Gruß v. angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Incibus |
also:
[mm] (\beta \odot [/mm] x) = [mm] \beta*(x-\pi) [/mm] + [mm] \pi [/mm] = [mm] \beta [/mm] x [mm] -\beta \pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] ???
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> also:
> [mm](\beta \odot[/mm] x) = [mm]\beta*(x-\pi)[/mm] + [mm]\pi[/mm] = [mm]\beta[/mm] x [mm]-\beta \pi[/mm]
> + [mm]\pi[/mm] ???
Ja, genauso.
Du weißt jetzt
[mm] \alpha\odot(\beta\odot x)=\alpha\odot([/mm] [mm]\beta[/mm] x [mm]-\beta \pi[/mm] + [mm]\pi[/mm]).
Nun mach Dir's leicht. Sag t:=[mm]\beta[/mm] x [mm]-\beta \pi[/mm] + [mm]\pi[/mm], und berechne
[mm] \alpha\odot [/mm] t.
Anschließend ersetzt Du t wieder durch [mm]\beta[/mm] x [mm]-\beta \pi[/mm] + [mm]\pi[/mm].
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Incibus |
also insgesamt dann : [mm] \alpha \odot (\beta \odot [/mm] x) = [mm] \alpha \odot (\beta [/mm] x - [mm] \beta \pi [/mm] + [mm] \pi) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] x - [mm] \beta \pi [/mm] + [mm] \pi) -\alpha \pi [/mm] + [mm] \pi=
[/mm]
[mm] \alpha \beta [/mm] x - [mm] \alpha \beta \pi [/mm] + [mm] \alpha \pi [/mm] - [mm] \alpha \pi [/mm] + [mm] \pi
[/mm]
= [mm] \alpha \beta [/mm] x - [mm] \alpha \beta \pi [/mm] + [mm] \pi [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] * [mm] \beta) [/mm] * (x - [mm] \pi) +\pi
[/mm]
= ( [mm] \alpha [/mm] * [mm] \beta) \odot [/mm] x
wenn das richtig ist, dann habe ich es jetzt endgültig verstanden denke ich. Vielen dank, dass du dir die zeit genommen hast
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Hallo,
jetzt ist es richtig.
Du scheinst es verstanden zu haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Hätte doch noch abschliessend eine Frage ^^
wenn ich jetzt die Eigenschaft (x [mm] \oplus [/mm] y) [mm] \oplus [/mm] z = x [mm] \oplus [/mm] (y [mm] \oplus [/mm] z )
überprüfe,
setze ich dann für x,y und z jeweils den gesamten Ausdrauck a+b- [mm] \pi [/mm] ein? sodass es dann wiefolgt aussieht:
[mm] (a+b-\pi+a+b-\pi)+a+b-\pi=a+b-\pi+a+b-\pi+a+b-\pi=a+b-\pi+(a+b-\pi+a+b-\pi)
[/mm]
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Servus Incibus !!!
Es gilt ja: [mm] $x\oplus [/mm] y = [mm] x+y-\pi$
[/mm]
Also auch: [mm] $y\oplus [/mm] z = [mm] y+z-\pi$
[/mm]
Setze nun [mm] $c=x\oplus y=x+y-\pi$ [/mm] und [mm] $d=y\oplus [/mm] z= [mm] y+z-\pi$, [/mm] dann sollst du untersuchen ob gilt (Assoziativität):
[mm] $c\oplus z=x\oplus [/mm] d$
Hinweis: [mm] $c\oplus z=c+z-\pi$ [/mm] und [mm] $x\oplus d=x+d-\pi$
[/mm]
Gruß Mathmark
P.S. Sacken lassen und überarbeiten !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
ok, vielen dank, ich denke nun hab ich es endgültig verstanden, das Beste ist es wohl, wenn ich die Ausdrücke desöfteren vereinfache und später dann wieder einsetze..
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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