Vektorraum und Surjektiv < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 13.08.2008 | | Autor: | simon23 |
| Aufgabe | Sei V ein n Dimensionaler und W ein m dimensionaler Vektorraum,
$ T : V [mm] \to [/mm] W $ linear.
Warum kann T im Fall m > n nicht surjektiv sein? |
Hier geht es mir nicht um das Verständniss. Ich weiß das das nicht sein kann und auch warum, nur wie schreibe ich das auf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Simon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
eine lineare Abbildung kann man mit Hilfe einer (eindeutig festgelegten) darstellenden Matrix darstellen.
Jetzt überlege dir, welche Form die Matrix haben muss.Dann mit Hilfe von Kernüberlegungen etc. auf die Lösung kommen.
Surjektiv heißt ja, dass die Zielmenge und Bildmenge übereinstimmen muss. Und dann ist natürlich die Frage: Wie schaut die Bildmenge einer darstellenden Matrix aus, und kann man mit Hilfe der Matrix alle Vektoren deines m-Dimensionalen Vektorraumes beschreiben?!
Wenn du dir darüber weitere Gedanken machst, und dir das Bild mit der Matrix hernimmst, sollte das ganze einfacher zu handhaben sein.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 13.08.2008 | | Autor: | simon23 |
Also die spalten der Abbildungsmatrix währen ja die Bilder der Basisvektoren von V in koordinaten bezüglich der Basis von W. Wenn jetzt m > n ist dann bedeutet das, dass die Abbildungsmatrix m-n nullzeilen hat. Reicht das schon um zu zeigen das die Dimension des Bildes von T kleiner der Dimension von W ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das ist im wesentilchem das, was fred schon geschrieben hat:
Wenn du dir eine mxn Matrix anguckst, dann kannst du da ja höchsten n Pivot-Elemente erzeugen. Damit ist die Dimension des Bildes höchstens n. Da du aber einen m-Dimensionalen hast, und m>n, kann das nicht surjektiv sein.
Mit dem Widerspruchsbeweis ists natürlich eleganter.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 13.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm einmal an T wäre surjektiv, also dim Bild(T) = m.
Wenn Du nun die Dimensionsformel
dim V = dim kern(T) + dim Bild(T)
benutzt, hast Du sofort einen Widerspruch.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mi 13.08.2008 | | Autor: | simon23 |
genau das habe ich gesucht vielen Dank... ;)
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