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| Aufgabe | Sei K ein Körper mit charK = p Primzahl oder 0. Für n [mm] \in \IN [/mm] / [mm] \{1,2\} [/mm] sei V = [mm] K^n. [/mm] Ferner seien
[mm] $w_i [/mm] := (1,..., 1, 0, 1,..., 1) [mm] \in [/mm] V $(für i=1,...,n) mit 0 genau an der i-ten Stelle. Bestimmen
Sie dim [mm] [/mm] für
(a) p [mm] \not| [/mm] n − 1,
(b) p | n − 1. |
Hallo liebe Vorhelfer,
ich wollte mal wieder eure Hilfe erbeten, da ich noch nicht so ganz klar komme.
Ich betrachte bei der Aufgabe einen Körper K mit einer Charakteristik, wobei die Charakteristik eine Primzahl sein soll. D.h. wenn ich aus dem Körper ein Element a p mal addiere, dann bekomme ich 0 heraus.
Der Vektorraum V über diesen Körper hat mindestens drei "Komponenten".
Nun soll ich mir anschauen, was die Dimension, also die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren ist, wenn ich diese besonderen Vektoren [mm] $w_i [/mm] := (1,..., 1, 0, 1,..., 1) [mm] \in [/mm] V $ betrachte, falls p [mm] \not| [/mm] n-1 und falls doch.
Ich nehme mal schwer an, das hat eben mit der Charakteristik zu tun  und mein Ansatz wäre jetzt, das einfach mal "unschuldig" auszuprobieren.
Also p [mm] \not| [/mm] n-1, n [mm] \in \IN [/mm] beliebig, n>2. Ich soll die Dimension von [mm] [/mm] , also ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in [mm] [/mm] ermitteln.
Ich schreib das mal so auf:
[mm] $k_1 \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + ... + [mm] k_n \vektor{1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 }$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm]
(1) 0 + [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] +... + [mm] k_n [/mm] = 0 [mm] \\
[/mm]
(2) [mm] k_1 [/mm] + 0 + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_n [/mm] = 0 [mm] \\
[/mm]
(3) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] + 0 +....+ [mm] k_n [/mm] = 0 [mm] \\
[/mm]
... [mm] \\
[/mm]
(n) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{n-1} [/mm] + 0 = 0 $
Wenn ich Bedingung (1) mit Bedingung (2) Vergleiche (gleichsetze), dann merke ich: [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2. [/mm] In (2) und (3) stell ich fest: [mm] k_2 [/mm] = [mm] k_3. [/mm] Beim Vergleich von (n-1) mit (n) merke ich: [mm] k_n [/mm] = [mm] k_{n-1}, [/mm] also insgesamt: [mm] k_1 [/mm] = ... = [mm] k_n.
[/mm]
Ich nehme an, jetzt hat diese Charakteristik und diese Teilregel ihren Aufritt, nur seh ich noch nicht recht wo...
Kann mir da jemand die Augen öffnen? Ich denke es liegt schon fast vor den Augen, denn ich weiß ja, dass CharK = p ist, und p *a = a+...+a = 0.
Vielen dank für den Schubs
Grüße
Traumfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Do 29.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] k1=k2=...=k_{n-}=a
[/mm]
(n-1)*k=0 steht in jeder Zeile.
gibt es jetzt ein [mm] k\ne=0 [/mm] ?
Gruss leduart
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Hallo Leduart.
ich glaub das war gut geschubst
Ich habe jetzt also, da [mm] k_1 [/mm] = ... = [mm] k_n [/mm] = k ist, in jeder Zeile des GLS stehen:
k (n-1) = 0. Das ist erfüllt, wenn n-1 ein vielfaches der Charakteristik ist, oder wenn k = 0.
Wenn die Charakteristik p nun n-1 teilt, dann ist n-1 ein Vielfaches der Charakteristik, also ist das gleich null.
Ich schaff aber den Bogen noch nich von diesem Zusammenhang mit der Charakteristik hin zur Dimension. Denn nur wenn alle k = 0 sind, weiß ich doch, dass [mm] $dim [/mm] = n$ ist. Teilt die Charakteristik nun n-1, so ist die linke Seite stets null.
Aber das heißt, das die Dimension null ist, oder?
Grüße und dank
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> Wenn die Charakteristik p nun n-1 teilt, dann ist n-1 ein
> Vielfaches der Charakteristik, also ist das gleich null.
>
> Ich schaff aber den Bogen noch nich von diesem Zusammenhang
> mit der Charakteristik hin zur Dimension. Denn nur wenn
> alle k = 0 sind, weiß ich doch, dass [mm]dim = n[/mm]
> ist. Teilt die Charakteristik nun n-1, so ist die linke
> Seite stets null.
>
> Aber das heißt, das die Dimension null ist, oder?
Hallo,
na, das kann doch nicht sein:
In [mm] [/mm] liegt ja z.B. [mm] w_1\not=0, [/mm] und somit scheidet die Dimension Null schnell aus.
Ich würde jetzt einfach mal einen Versuchsballon starten.
p sei Teiler von n-1.
1.Behauptung:
[mm] (w_1, [/mm] ..., [mm] w_p) [/mm] ist linear unabhängig.
2. Behauptung:
[mm] (w_1, [/mm] ..., [mm] w_p, w_k) [/mm] ist linear abhängig für alle [mm] p
Damit hättest Du dann gezeigt, daß in dem Fall die Dimension v. [mm] [/mm] =p ist, ich meine, daß das klappt.
Gruß v. Angela
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Hallo ihr beiden.
Ich probier mal den Vorschlag von Angela aus, schreib das aber noch mal auf, damit ich die Verbindungen sehe:
[mm] $k_1 \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + ... + [mm] k_n \vektor{1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 }$ [/mm]
Liefert mir als Bedingung:
[mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = ... = k_(n-1) = [mm] k_n [/mm] := k, d.h. in jeder Zeile steht: (n-1) k = 0.
Angenommen p sei Teiler von n-1, d.h. p < n-1.
Z.z. [mm] w_1,...,w_p [/mm] sind linear unabhängig. Aus dem GLS habe ich doch:
[mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = ... = k_(p-1) = [mm] k_p [/mm] = ... = [mm] k_n [/mm] := k
Woraus wir geschlossen haben:
$k (n-1) = 0 $ in jeder Zeile.
Das ist doch gleichbedeutend zu:
$k p + (n-p-1) k = 0$
Aber hier ist doch $kp = 0 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K$, oder? Ich seh nicht, wie daraus die lineare Unabhängigkeit der Vektoren [mm] w_1,...,w_p [/mm] folgt.
Im Umkehrschluss muss folgt aus der Gleichung doch auch, dass dann $(n-p-1) k = 0$ sein muss, was nur der Fall wäre, wenn k = 0 ist...
Grüße und dank,
Traumfänger
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> Hallo ihr beiden.
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> Ich probier mal den Vorschlag von Angela aus, schreib das
> aber noch mal auf, damit ich die Verbindungen sehe:
>
> [mm]k_1 \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} + k_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1} + ... + k_n \vektor{1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \\ 0} = \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Liefert mir als Bedingung:
>
> [mm]k_1[/mm] = [mm]k_2[/mm] = ... = k_(n-1) = [mm]k_n[/mm] := k, d.h. in jeder Zeile
> steht: (n-1) k = 0.
>
> Angenommen p sei Teiler von n-1, d.h. p < n-1.
>
> Z.z. [mm]w_1,...,w_p[/mm] sind linear unabhängig. Aus dem GLS habe
> ich doch:
>
> [mm]k_1[/mm] = [mm]k_2[/mm] = ... = k_(p-1) = [mm]k_p[/mm] = ... = [mm]k_n[/mm] := k
Hallo,
die lineare Unabhängigkeit von p Vektoren zeigt man doch nicht, indem man die Linearkombination aus n Vektoren bildet!
Es geht doch darum, daß [mm] w_1,...,w_p [/mm] linear unabhängig sind, also mußt Du
[mm] k_1 \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + ... + [mm] k_p \vektor{1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
betrachten.
Falls Du herausfindest, daß die unabhängig sind, schaust Du, ob die Unabhängigkeit weiterhin gilt, wenn Du eine weiteren der [mm] w_i, [/mm] i>p , dazutust.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
Ja ich seh was du meintest. Das war natürlich dumm.
ich betrachte also:
[mm] k_1 \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] + ... + [mm] k_p \vektor{1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 0 } [/mm]
Daraus folgt:
(1) [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] + [mm] k_p [/mm] = 0
(2) [mm] k_1 [/mm] + + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] + [mm] k_p [/mm] = 0
...
(p) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] = 0
Daraus folgt wiederum: [mm] k_p [/mm] = [mm] k_{p-1} [/mm] = ... = [mm] k_2 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] = k.
D.h. (p-1) k = 0, und das ist dann der Fall, wenn k = 0 (die Charakteristik ist ja p und nicht p-1).
D.h. die Vektoren [mm] w_1,...w_p [/mm] sind linear unabhängig, dim [mm] [/mm] = p.
Angenommen ich füge nun einen der Vektoren [mm] w_{p+1},...,w_n [/mm] hinzu, angenommen das ist [mm] w_i
[/mm]
Dann ist das GLS:
(1) [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] + [mm] k_p [/mm] + [mm] k_{i} [/mm] = 0
(2) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] + [mm] k_p [/mm] + [mm] k_{i} [/mm] = 0
...
(p) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] + [mm] k_i [/mm] = 0
(i) [mm] k_1 [/mm] + [mm] k_2 [/mm] + [mm] k_3 [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} [/mm] + [mm] k_p [/mm] = 0
Daraus folgt: [mm] k_i [/mm] = [mm] k_p [/mm] = ... = [mm] k_2 [/mm] = [mm] k_1 [/mm] = k, also
p k = 0 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K, also sind die Vektoren nicht mehr linear unabhängig.
D.h. in dem Fall p | n-1 ist dim [mm] [/mm] = p.
Und jetzt muss ich die ganze Geschichte noch für den Fall p [mm] \not| [/mm] n-1. Die Frage ist, ob das ein schnelles Argument ist...
Ich würde das da wieder so aufziehen. Das heißt ich nehme meine Vektoren und finde heraus:
[mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = ... = [mm] k_{n-1} [/mm] = [mm] k_n [/mm] = k.
Also die Bedingung (n-1) k = 0. Und die ist ja dann nur erfüllt, wenn k = 0. D.h. [mm] dim [/mm] = n, oder?
Viele Grüße und danke!
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> Und jetzt muss ich die ganze Geschichte noch für den Fall p
> [mm]\not|[/mm] n-1.
Hallo,
den hattest Du doch eigentlich am Anfang schon.
Jedenfalls sind Deine Ergebnisse so, wie ich sie mir auch gedacht habe.
Gruß v. Angela
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