Vektorraum über K < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Seien V und W Vektorräume über K. Zeigen Sie dass das direkte Produkt V x W durch die Verknüpfungen
(v,w) + (v',w') := (v + v', w+w'), [mm] \lambda [/mm] (v,w) := [mm] (\lambda [/mm] * v, [mm] \lambda [/mm] * w),
ebenfalls zu einem Vektorraum über K wird. |
Hallo Zusammen.
Könnte Ihr mir helfen, wie ich hier vorgehen muss? Im Vektorraum gibts ja die Addition, in welche das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetzt ein neutrales Element und ein Inverses Element, gelten, bzw vorhanden sein müssen (sozusagen eine abelsche Gruppe).
Und dann gibts noch die Skalare Multiplikation (bsp.: *: KxV -> V in welcher folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
1) [mm] \forall [/mm] r,s [mm] \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V : r*(s*u) = (r*s)*u = rs*u
2) [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V: 1*u = u
3) [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in [/mm] V: r *(u+v) = r*u + r*v
4) [mm] \forall [/mm] r,s [mm] \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] V: (r+s)*u = r*u + s*u
Muss ich jetzt jede eigenschaft prüfen ob sie im Produkt V x W noch stimmen? Falls ja, kann mir jemand ein Beispiel geben wie ich das anpacken muss?
Vielen Dank und freundliche Grüsse
Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien V und W Vektorräume über K. Zeigen Sie dass das
> direkte Produkt V x W durch die Verknüpfungen
> (v,w) + (v',w') := (v + v', w+w'), [mm]\lambda[/mm] (v,w) :=
> [mm](\lambda[/mm] * v, [mm]\lambda[/mm] * w),
> ebenfalls zu einem Vektorraum über K wird.
> Hallo Zusammen.
>
> Könnte Ihr mir helfen, wie ich hier vorgehen muss? Im
> Vektorraum gibts ja die Addition, in welche das
> Assoziativgesetz, das Kommutativgesetzt ein neutrales
> Element und ein Inverses Element, gelten, bzw vorhanden
> sein müssen (sozusagen eine abelsche Gruppe).
> Und dann gibts noch die Skalare Multiplikation (bsp.: *:
> KxV -> V in welcher folgende Bedingungen erfüllt sein
> müssen:
> 1) [mm]\forall[/mm] r,s [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V : r*(s*u) = (r*s)*u =
> rs*u
> 2) [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: 1*u = u
> 3) [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] u,v [mm]\in[/mm] V: r *(u+v) = r*u +
> r*v
> 4) [mm]\forall[/mm] r,s [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: (r+s)*u = r*u + s*u
>
> Muss ich jetzt jede eigenschaft prüfen ob sie im Produkt V
> x W noch stimmen?
falls Ihr keinen Satz habt, der einfachere Vorgehensweise liefert: Ja!
> Falls ja, kann mir jemand ein Beispiel
> geben wie ich das anpacken muss?
Das ist eigentlich sehr einfach. Ich würde allerdings die Addition auf
$V [mm] \times [/mm] W$ mal mit [mm] $\oplus$ [/mm] und die skalare Multiplikation etwa mit
[mm] $\*$ [/mm] bezeichnen, einfach nur, damit man weiß: "Wo rechne ich
gerade? "
Es ist also etwa [mm] $\oplus: [/mm] (V [mm] \times [/mm] W) [mm] \times [/mm] (V [mm] \times [/mm] W) [mm] \to [/mm] (V [mm] \times [/mm] W)$
definiert durch
[mm] $$(v,w),\;(v',w') \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] (v,w) [mm] \oplus (v',w'):=(\underbrace{v+v'}_{\in V},\underbrace{w+w'}_{\in W}) \in [/mm] V [mm] \times W\,.$$
[/mm]
Rechnen wir also mal das Assoziativgesetz nach:
Seien $(v,w),(v',w')$ und $(v'',w'')$ alle aus $V [mm] \times W\,.$ [/mm] Zu zeigen ist:
$$((v,w) [mm] \oplus (v',w'))\oplus [/mm] (v'',w'')=(v,w) [mm] \oplus [/mm] ((v',w') [mm] \oplus (v'',w''))\,.$$
[/mm]
Beweis: (die "Paar"-Klammern, also die äußeren, schreibe ich mal rot - d.h.
durch rote Klammern werden Elemente aus $V [mm] \times [/mm] W$ eingegrenzt, zwischen dem Element aus [mm] $V\,$ [/mm] und dem aus [mm] $W\,$ [/mm] steht ein Komma! Bei den anderen, nicht ganz großen, Klammern "rechnen wir im jeweiligen Vektorraum" - wobei das manchmal ein wenig überladen geschrieben ist,
aber extra: Überladen, weil wir beim Punkt $(3+1,5+7) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ja auch
nicht in den Koordinaten nochmal um die Summen Klammern setzen
würden - ich mach's unten trotzdem, nur der Deutlichkeit wegen! Solche
Klammern markiere ich aber blau!)
[mm] $$\Big(\red{(}v,w\red{)} \oplus \red{(}v',w'\red{)}\Big)\oplus \red{(}v'',w''\red{)}=\red{(}\blue{\text{(}}v+v'\blue{\text{)}},\blue{\text{(}}w+w'\blue{\text{)}}\red{)} \oplus \red{(}v'',w''\red{)}=\red{(}(v+v')+v'',(w+w')+w''\red{)}=\red{(}v+(v'+v''),w+(w'+w'')\red{)}$$
[/mm]
[mm] $$=\red{(}v,w\red{)}\oplus \red{(}\blue{\text{(}}v'+v''\blue{\text{)}},\blue{\text{(}}w'+w''\blue{\text{)}}\red{)}=\red{(}v,w\red{)} \oplus \Big(\red{(}v',w'\red{)}\oplus \red{(}v'',w''\red{)}\Big)$$
[/mm]
Jetzt versuch' Dich mal am Rest...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Franhu |
Hallo Marcel
Vielen Dank für die rasche Hilfeleistung. Ich werde mich daran versuchen und mich bei Unklarheiten noch einmal melden.
Schönen Abend noch.
Gruss Franhue> Hallo,
>
> > Seien V und W Vektorräume über K. Zeigen Sie dass das
> > direkte Produkt V x W durch die Verknüpfungen
> > (v,w) + (v',w') := (v + v', w+w'), [mm]\lambda[/mm] (v,w) :=
> > [mm](\lambda[/mm] * v, [mm]\lambda[/mm] * w),
> > ebenfalls zu einem Vektorraum über K wird.
> > Hallo Zusammen.
> >
> > Könnte Ihr mir helfen, wie ich hier vorgehen muss? Im
> > Vektorraum gibts ja die Addition, in welche das
> > Assoziativgesetz, das Kommutativgesetzt ein neutrales
> > Element und ein Inverses Element, gelten, bzw vorhanden
> > sein müssen (sozusagen eine abelsche Gruppe).
> > Und dann gibts noch die Skalare Multiplikation (bsp.:
> *:
> > KxV -> V in welcher folgende Bedingungen erfüllt sein
> > müssen:
> > 1) [mm]\forall[/mm] r,s [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V : r*(s*u) =
> (r*s)*u =
> > rs*u
> > 2) [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: 1*u = u
> > 3) [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] u,v [mm]\in[/mm] V: r *(u+v) = r*u +
> > r*v
> > 4) [mm]\forall[/mm] r,s [mm]\in[/mm] K [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm] V: (r+s)*u = r*u +
> s*u
> >
> > Muss ich jetzt jede eigenschaft prüfen ob sie im Produkt V
> > x W noch stimmen?
>
> falls Ihr keinen Satz habt, der einfachere Vorgehensweise
> liefert: Ja!
>
> > Falls ja, kann mir jemand ein Beispiel
> > geben wie ich das anpacken muss?
>
> Das ist eigentlich sehr einfach. Ich würde allerdings die
> Addition auf
> [mm]V \times W[/mm] mal mit [mm]\oplus[/mm] und die skalare Multiplikation
> etwa mit
> [mm]\*[/mm] bezeichnen, einfach nur, damit man weiß: "Wo rechne ich
> gerade? "
>
> Es ist also etwa [mm]\oplus: (V \times W) \times (V \times W) \to (V \times W)[/mm]
>
> definiert durch
> [mm](v,w),\;(v',w') \in V \times W \Rightarrow (v,w) \oplus (v',w'):=(\underbrace{v+v'}_{\in V},\underbrace{w+w'}_{\in W}) \in V \times W\,.[/mm]
>
> Rechnen wir also mal das Assoziativgesetz nach:
> Seien [mm](v,w),(v',w')[/mm] und [mm](v'',w'')[/mm] alle aus [mm]V \times W\,.[/mm]
> Zu zeigen ist:
> [mm]((v,w) \oplus (v',w'))\oplus (v'',w'')=(v,w) \oplus ((v',w') \oplus (v'',w''))\,.[/mm]
>
> Beweis: (die "Paar"-Klammern, also die äußeren, schreibe
> ich mal rot - d.h.
> durch rote Klammern werden Elemente aus [mm]V \times W[/mm]
> eingegrenzt, zwischen dem Element aus [mm]V\,[/mm] und dem aus [mm]W\,[/mm]
> steht ein Komma! Bei den anderen, nicht ganz großen,
> Klammern "rechnen wir im jeweiligen Vektorraum" - wobei das
> manchmal ein wenig überladen geschrieben ist,
> aber extra: Überladen, weil wir beim Punkt [mm](3+1,5+7) \in \IR^2[/mm]
> ja auch
> nicht in den Koordinaten nochmal um die Summen Klammern
> setzen
> würden - ich mach's unten trotzdem, nur der Deutlichkeit
> wegen! Solche
> Klammern markiere ich aber blau!)
> [mm]\Big(\red{(}v,w\red{)} \oplus \red{(}v',w'\red{)}\Big)\oplus \red{(}v'',w''\red{)}=\red{(}\blue{\text{(}}v+v'\blue{\text{)}},\blue{\text{(}}w+w'\blue{\text{)}}\red{)} \oplus \red{(}v'',w''\red{)}=\red{(}(v+v')+v'',(w+w')+w''\red{)}=\red{(}v+(v'+v''),w+(w'+w'')\red{)}[/mm]
>
> [mm]=\red{(}v,w\red{)}\oplus \red{(}\blue{\text{(}}v'+v''\blue{\text{)}},\blue{\text{(}}w'+w''\blue{\text{)}}\red{)}=\red{(}v,w\red{)} \oplus \Big(\red{(}v',w'\red{)}\oplus \red{(}v'',w''\red{)}\Big)[/mm]
>
> Jetzt versuch' Dich mal am Rest...
>
> Gruß,
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Franhu |
Hallo
Ich blicke noch nicht richtig durch. Die erste Eigenschaft mit der abelschen Gruppe ist klar, da V und W abelsche Gruppen sein müssen. Nun habe ich aber bei den zweiten Eigenschaften Probleme, bei den Sklalar multipkikation. Da ist ja eine Bedingung
3) r [mm] \in [/mm] K u,v [mm] \in [/mm] V: r *(u+v) = r*u + r*v
Wie muss ich jetzt das beweisen, bzw wie wende ich das auf meine gegebenen Verknüpfungen in der Aufgabenstellung an?
Vielen Dank noch einmal!
Gruss Franhu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Ich blicke noch nicht richtig durch. Die erste Eigenschaft
> mit der abelschen Gruppe ist klar, da V und W abelsche
> Gruppen sein müssen. Nun habe ich aber bei den zweiten
> Eigenschaften Probleme, bei den Sklalar multipkikation. Da
> ist ja eine Bedingung
>
> 3) r [mm]\in[/mm] K u,v [mm]\in[/mm] V: r *(u+v) = r*u + r*v
pass' ein bisschen mit den Notationen auf - bei der "Prüfbedingung" ist
das [mm] $V\,$ [/mm] ein anderes wie das in der Aufgabe - da ist [mm] $V\,$ [/mm] schonmal
vergeben.
Nachzuweisen ist hier:
Ist $r [mm] \in K\,$ [/mm] und sind [mm] $\tilde{v},\tilde{v}' \in \tilde{V}\,,$ [/mm] so folgt
$$r [mm] \*(\tilde{v} \oplus \tilde{v}')=r \* \tilde{v} \oplus [/mm] r [mm] \* \tilde{v}'\;\;\;\;\;\;\;\;\;\big(=(r \* \tilde{v}) \oplus [/mm] (r [mm] \* \tilde{v}')\big)\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\tilde{V}= [/mm] V [mm] \times W\,,$ [/mm] mit den [mm] $V,W\,$ [/mm] aus Deiner Aufgabe!
> Wie muss ich jetzt das beweisen, bzw wie wende ich das auf
> meine gegebenen Verknüpfungen in der Aufgabenstellung an?
Ich hab' ja nun oben geschrieben, was zu zeigen ist. Nehmen wir also
[mm] $\tilde{v},\tilde{v}' \in \tilde{V}$ [/mm] her. Wegen [mm] $\tilde{V}=V \times [/mm] W$
können wir $v, v' [mm] \in [/mm] V$ und $w,w' [mm] \in [/mm] W$ so finden, dass wir schreiben
können
[mm] $$\tilde{v}=(v,w)$$
[/mm]
[mm] $$\tilde{v}'=(v',w')\,.$$
[/mm]
Damit rechnen wir nun:
[mm] $$r\*(\tilde{v} \oplus \tilde{v}')=r \* (\;(v,w) \oplus\;(v',w')\;)=...$$
[/mm]
(im nächsten Schritt wende die Definition von [mm] $\oplus$ [/mm] an, DANACH kannst
Du dann die Definition von [mm] $\*$ [/mm] anwenden und dann...)
[mm] $$=(r*v+r*v',\;r*w+r*w'\;)\stackrel{\text{nach Def. von }\oplus}{=}(\;r*v,\;r*w\;)\;\oplus\;(\;r*v',\;r*w'\;)\;\;\;\text{ | beachte, dass hier im Ausdruck ganz links in den Komponenten NUR noch in }V \text{ bzw. }W \text{ gerechnet wird!}$$
[/mm]
Was musst Du wohl nun noch anwenden, um
$$=r [mm] \* \tilde{v} \oplus [/mm] r [mm] \* \tilde{v}'$$
[/mm]
zu erkennen?
Gruß,
Marcel
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