Vektorraum der Polynome < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] \mathcal{P}_n [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n [mm] \in \IN_0. [/mm] Wir betrachten die Abbildung D : [mm] \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n [/mm] mit [mm] D(\mathcal{P}_n) [/mm] = [mm] \mathcal{P}_n', [/mm] wobei [mm] \mathcal{P}_n' [/mm] die Ableitung des Polynoms [mm] \mathcal{P}_n [/mm] bezeichnet. (Zur Erinnerung: Für [mm] \mathcal{P}_n [/mm] mit [mm] \mathcal{P}_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_k*x^k [/mm] ist die Ableitung durch [mm] \mathcal{P}_n'(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} k*a_k*x^{k-1} [/mm] gegeben.) Begründen Sie Ihre Antworten auf folgende Fragen:
a) Ist D ist eine lineare Abbildung?
b) Ist D injektiv?
c) Ist D surjektiv?
d) Ist D bijektiv? |
Hi,
hier habe ich wieder mal ein Brett vor dem Kopf. Ich habe da nicht wirklich eine Idee wie ich diese Aufgabe angehen soll. Bin für jede Hilfe dankbar :)
Grüße Margorion
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowas macht man indem man sich zuerst die Definitionen nochmal aufschreibt. wann ist eine Abb linear?
dann überprüft man das! das ist hier leicht.
Wann ist eine Abb injektiv?
überprüfen!
diese aufgaben sinnd hauptsächlich dazu da wirklich mit den Def. umzugehen und sie damit zu verinnerlichen!
also schreib sie auf und überprüfe. dann sage wo du dabei auf Schwierigkeiten stößt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Schonmal danke für deine Hilfe.
Für den ersten Aufgabenteil (Ist D eine lineare Abbildung? ) habe ich jetzt folgendes:
[mm] \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n
[/mm]
[mm] D(\mathcal{P}_n)= \mathcal{P}_n'
[/mm]
Sei [mm] \alpha,\beta \in \IR [/mm] und P,Q [mm] \in \mathcal{P}_n
[/mm]
[mm] D(\alpha*P_n+\beta*Q_n)= \alpha*D(P_n)+\beta*(D(Q_n))= \alpha*P_n'+\beta*Q_n'
[/mm]
Jedoch komme ich jetzt bei der Injektivität/Surjektivität nicht weiter.
Damit ich diese Beweisen kann muss ich ja den Rang bestimmen, und da beide in dem selben Raum abgebildet sind ( [mm] \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n [/mm] ), ist es jetzt entweder bijektiv oder garnichts.
Bei "normalen" Vektorräumen habe ich da auch wenig Probleme, aber bei Polynom Räumen komm ich schnell raus.
Kann ich denn jetzt einfach sagen das bei [mm] \mathcal{P}_n' [/mm] das höchste Polynom n-1 ist und es deswegen nicht bijektiv ist?
Grüße
margorion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 13.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schonmal danke für deine Hilfe.
>
> Für den ersten Aufgabenteil (Ist D eine lineare Abbildung?
> ) habe ich jetzt folgendes:
> [mm]\mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n[/mm]
>
> [mm]D(\mathcal{P}_n)= \mathcal{P}_n'[/mm]
>
> Sei [mm]\alpha,\beta \in \IR[/mm] und P,Q [mm]\in \mathcal{P}_n[/mm]
>
> [mm]D(\alpha*P_n+\beta*Q_n)= \alpha*D(P_n)+\beta*(D(Q_n))= \alpha*P_n'+\beta*Q_n'[/mm]
>
>
> Jedoch komme ich jetzt bei der Injektivität/Surjektivität
> nicht weiter.
> Damit ich diese Beweisen kann muss ich ja den Rang
> bestimmen, und da beide in dem selben Raum abgebildet sind
> ( [mm]\mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n[/mm] ), ist es jetzt entweder
> bijektiv oder garnichts.
>
> Bei "normalen" Vektorräumen habe ich da auch wenig
> Probleme, aber bei Polynom Räumen komm ich schnell raus.
deswegen gibt es meist einen Satz, der Dir sagt, wie man in solchen Räumen mit Koordinaten arbeiten kann (irgendwie bildet man den [mm] $n\,$-dimensionalen [/mm] VR [mm] $V\,$ [/mm] auf [mm] $K^n$ [/mm] ab, den [mm] $m\,$-dimensionalen $W\,$ [/mm] auf [mm] $K^m$ [/mm] und die lineare Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W$ läßt sich dann mit einer linearen [mm] $K^n \to K^m$ [/mm] "identifizieren", welche wiederum mit einer Matrix [mm] $K^{m \times n}$ [/mm] identifiziert werden kann...). Sowas wäre hier hilfreich, weil Du dann i.w. mit "bekannten Räumen" arbeiten kannst - nämlich [mm] $\IR^n$ [/mm] und [mm] $\IR^m$ [/mm] über [mm] $\IR\,.$ [/mm] Und dann wirst Du sehen, wenn Du Dir mal "klarmachst, was diese Koordinatenabbildungen eigentlich machen", dass diese "Polynomräume" zwar komplexer erscheinen - immerhin sind die "Vektoren" dort ja "Funktionen", aber man dort eigentlich genau das gleiche macht wie bei den [mm] $K^n$ [/mm] und "Abbildungen in Matrizenform". (Tipp: Wenn Du mal Gelegenheit hast, schau' mal in "Bosch, lineare Algebra" - irgendwo unter Koordinatenabbildungen...)
Dazu solltest Du Dir aber mindestens mal eine Basis des [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] überlegen - Tipp: nimm' "hinreichend viele" Monome.
Wenn man so arbeitet, kann man einfach mit der "linearen Abbildung in Matrixform" arbeiten und alles anhand der Matrix beurteilen.
Aber auch ohne das:
Ein klein wenig logisches denken bringt Dich hier auch zum Ziel - bzw. ein wenig "Erfahrung" mit der Analysis. Denn im Wesentlichen weiß man auch schon aus der Schule, wie man Polynome ableitet...
> Kann ich denn jetzt einfach sagen das bei [mm]\mathcal{P}_n'[/mm]
> das höchste Polynom n-1 ist und es deswegen nicht bijektiv
> ist?
Das ist unsauber formuliert - was übrigens auch die Aufgabe ist. Denn [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] steht einmal für den Vektorraum aller Polynome vom Grad [mm] $\le n\,,$ [/mm] ein anderes mal für ein Polynom aus diesem VR etc. pp.. Ich trenne das unten ein wenig, um sauber(er) zu bleiben.
Betrachten wir zunächst mal den Fall $n [mm] \ge [/mm] 1:$
Ich schreibe mal [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] für den Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] $\le n\,$ [/mm] (hier ist klar, über welchem Körper etc. das zu verstehen ist) und etwa $P$ (manchmal auch [mm] $f,\,g,\,,\ldots$) [/mm] für ein Polynom aus [mm] $\mathcal{P}_n\,,$ [/mm] also $P [mm] \in \mathcal{P}_n\,.$ [/mm] Dann ist klar, dass $D(P)=P' [mm] \in \mathcal{P}_{n-1}\,,$ [/mm] also für jedes $P [mm] \in \mathcal{P}_n$ [/mm] kann $D(P)$ nur noch ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] n-1$ sein. Somit ist aber [mm] $D(\mathcal{P}_n)$ [/mm] (das ist das Bild des Vektorraums [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] unter der (linearen - wie Du oben gesehen/bewiesen hast!) Abbildung [mm] $D\,$) [/mm] ECHTE Teilmenge des Zielbereichs [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] von [mm] $D\,$ [/mm] ist, daher kann [mm] $D\,$ [/mm] nicht surjektiv sein - denn es gibt in [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] ja auch Polynome vom Grad [mm] $=n\,.$
[/mm]
Ich formuliere es mal "schulmäßiger": In [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] gibt es Polynome vom Grad echt [mm] $=n\,,$ [/mm] und damit [mm] $D\,$ [/mm] diese "erzielen" kann, müßte eine von deren Stammfunktionen auch in [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] liegen. So eine Stammfunktion hat aber Grad echt [mm] $=n+1\,,$ [/mm] also enthielte [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] auch mindestens ein Polynom vom Grad [mm] $n+1\,.$ [/mm] Das kann aber per Definition von [mm] $\mathcal{P}_n$ [/mm] nicht sein. Widerspruch.
(Konkreter kann man die Nichtsurjektivität auch so beweisen, dass man zeigt: Es gibt kein Polynom $f [mm] \in \mathcal{P}_n$ [/mm] mit [mm] $D(f)=g\,,$ [/mm] wobei $g [mm] \in \mathcal{P}_n$ [/mm] definiert ist durch [mm] $g(x):=x^n\,.$)
[/mm]
Da wir so sehen, dass die Abbildung nicht surjektiv sein kann, sehen wir auch, dass sie natürlich niemals bijektiv sein wird.
Denn Fall [mm] $n=0\,$ [/mm] kannst Du Dir nun auch mal angucken. Wie sieht's da mit der Surjektivität aus? (Beachte: Leitest Du konstante Funktionen ab, so erhältst Du stets die selbe konstante Funktion: Das Nullpolynom.)
Zur Injektivität: Auch das ist einfach. Sei $n [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Wenn [mm] $D\,$ [/mm] injektiv wäre, so dürfte für verschiedene $f,g [mm] \in \mathcal{P}_n$ [/mm] niemals [mm] $D(f)=D(g)\,$ [/mm] sein. Jetzt nimm' aber mal an, dass [mm] $f=const=c\,$ [/mm] (also [mm] $f\,$ [/mm] ist eine konstante Funktion, deren Grad ist natürlich [mm] $0\,$) [/mm] und nimm' [mm] $g:=f+1\,.$ [/mm] (Solche [mm] $f,g\,$ [/mm] existieren in allen [mm] $\mathcal{P}_n\,,$ [/mm] $n [mm] \in \IN_0\,.$)
[/mm]
Klar ist $f [mm] \not=g\,.$ [/mm] Aber gilt denn auch [mm] $D(f)\not=D(g)\,$? [/mm] Kann also [mm] $D\,$ [/mm] injektiv sein?
P.S.:
Der Einfachheit halber gehe ich oben davon aus, dass ihr Polynome über dem Körper [mm] $K=\IR$ [/mm] betrachtet. Natürlich geht das auch mit anderen Körpern, und nicht so abwegig wäre durchaus auch [mm] $K=\IC\,.$ [/mm] Aber allg. kann [mm] $K\,$ [/mm] eigentlich auch irgendein Körper sein. Evtl. muss man alles nochmal ein wenig überdenken, wenn [mm] $K\,$ [/mm] sehr klein ist - etwa der Körper [mm] $\{0,1\}\,$ [/mm] - vllt. ist das aber auch egal. Ich bin nur gerade ein wenig zu faul, um zu prüfen, ob dann die Argumente genauso klappen... kannst Du aber gerne mal zu Übung auch machen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
