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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorraum beweise finden
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Vektorraum beweise finden: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 So 11.11.2012
Autor: Duckx

Aufgabe
$(V,+,K)$ sei ein Vektorraum. Zeigen Sie, dass für alle $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gilt:
a) [mm] $\lambda \cdot{}0=0$ [/mm]
b) $0 [mm] \cdot{}v=0$ [/mm]
c) [mm] $(-1)\cdot{}v=-v$ [/mm]
d) Gilt [mm] $\lambda \cdot [/mm] v=0$, dann ist [mm] $\lambda=0$ [/mm] oder $v=0$

Ich weiß nicht, wo ich bei den Teilaufgaben ansetzen soll. Für mich ist das klar, dass das gilt. Daher ist es für mich schwer für solch "einfachen" Regeln Beweise zu finden.


        
Bezug
Vektorraum beweise finden: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 So 11.11.2012
Autor: wieschoo

a) z.z. [mm] $\lambda \cdot [/mm] 0 = 0$

du hast nur die Vektorraumaxiome zur Verfügung und weißt 0+0=0.


Bezug
                
Bezug
Vektorraum beweise finden: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:23 So 11.11.2012
Autor: Duckx

Also mein ansatz:
[mm] $\lambda \cdot{} (v+w)=\lambda \cdot{} [/mm] v + [mm] \lambda \cdot{} [/mm] w$
$0+0=0$
[mm] $\lambda \cdot{} (0+0)=\lambda \cdot{} [/mm] 0 + [mm] \lambda \cdot{} 0=\lambda \cdot{} [/mm] 0=0$

Aber das ist noch keine wirkliche begründung oder?

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum beweise finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 So 11.11.2012
Autor: Duckx

ok neuer versuch:
$ [mm] \lambda \cdot{} (0+0)=\lambda \cdot{} [/mm] 0 + [mm] \lambda \cdot{} 0=\lambda \cdot{} [/mm] 0$
[mm] $v=\lambda \cdot{} [/mm] 0$
$v+v=v$
[mm] $\overline{v}+v=0 \to v=-\overline{v}$ [/mm]
$v+v=v \ \ \ \    [mm] \vert [/mm] + [mm] \overline{v}$ [/mm]
$v=0$
[mm] $\lambda \cdot{} [/mm] 0=0$

Ist das damit bewiesen?

Bezug
                                
Bezug
Vektorraum beweise finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 So 11.11.2012
Autor: chrisno


> ok neuer versuch:
>  [mm]\lambda \cdot{} (0+0)=\lambda \cdot{} 0 + \lambda \cdot{} 0=\lambda \cdot{} 0[/mm]

Du musst an jedes Gleichheitszeichen schreiben, aus welchem Axiom es folgt.

>  
> [mm]v=\lambda \cdot{} 0[/mm]

Dann musst Du schreiben, wo Du etwas definierst.

>  [mm]v+v=v[/mm]
>  [mm]\overline{v}+v=0 \to v=-\overline{v}[/mm]

Was ist da passiert?

>  [mm]v+v=v \ \ \ \ \vert + \overline{v}[/mm]

Das konntest Du direkt hinschreiben.

>  
> [mm]v=0[/mm]
>  [mm]\lambda \cdot{} 0=0[/mm]
>  
> Ist das damit bewiesen?

Die Idee ist brauchbar. Wenn Du das ordentlich aufschreibst, wird daraus ein Beweis.


Bezug
                                        
Bezug
Vektorraum beweise finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 So 11.11.2012
Autor: Duckx

ok und b) ist ja eigentlich äquivalent zu a) oder? Also kann ich dort genauso vorgehen?

Bezug
                                                
Bezug
Vektorraum beweise finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 So 11.11.2012
Autor: chrisno

nicht genau so, aber ziemlich ähnlich

Bezug
                                                        
Bezug
Vektorraum beweise finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 So 11.11.2012
Autor: Duckx

Wo ändert sich denn etwas an dem Beweis von b) im Vergleich zu a)?

Bezug
                                                                
Bezug
Vektorraum beweise finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 So 11.11.2012
Autor: chrisno

fang einfach an, es aufzuschreiben.

Bezug
                                                                        
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Vektorraum beweise finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 So 11.11.2012
Autor: Duckx

$0 [mm] \cdot{} [/mm] v =0$
$0 + v=v$
[mm] $\to [/mm] 0 [mm] \cdot{} [/mm] (0 + v)=0$
$0*0+v*0=0$

So weit bin ich. Allerdings komme ich ab da nicht mehr weiter.

Bezug
                                                                                
Bezug
Vektorraum beweise finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:38 Mo 12.11.2012
Autor: angela.h.b.


> [mm]0 \cdot{} v =0[/mm]
>  [mm]0 + v=v[/mm]
>  [mm]\to 0 \cdot{} (0 + v)=0[/mm]
>  
> [mm]0*0+v*0=0[/mm]
>  
> So weit bin ich. Allerdings komme ich ab da nicht mehr
> weiter.

Hallo,

Du solltest immer deutlich machen, welches die zu beweisende Behauptung ist, wo Dein Beweis beginnt, und welches die Begründung für jeweils vollzogene Schritte ist.
Damit schaffst Du Klarheit nicht zuletzt in Deinem Hirn.

Auch ein paar Worte sind kein Fehler...

Das da oben bringt nichts.

Behauptung: [mm] 0_K*v=0_V [/mm] für alle [mm] v\in [/mm] V.

Beweis: sei [mm] v\in [/mm] V.

Es ist  [mm] 0_K*v=(0_K+0_K)*v= [/mm] ..., denn ...
==> ..., denn ...

LG Angela


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