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Hallo Ihr alle,
ich bin ganz neu hier und habe ein Riesenproblem - ich kann keine allgemeinen Beweise führen =/
Die Aufgabe ist:
Es sei V ein Vektorraum über K mit Basis v1,...,vn.
a) Bestimme alle v, ausgedrückt als Linearkombination in der gegeben Basis, welche die Eigenschaft besitzen, dass v,v2,...,vn eine Basis von V ist.
b) Bestimme alle v mit der Eigenschaft, dass für jedes j, 1<j<n, die endliche Folge v1,...,v(j-1),v,v(j+1),...,vn eine Basis von V ist.
(die Zahlen in Klammern sind Indizes, weiß nicht wie ich die hier darstellen kann, sorry!)
Also, mein Problem ist, dass ich die Aufgabenstellung nicht wirklich verstehe und nicht weiß, wie ich solche allgemeinen Dinge zeigen soll =/
Ich weiß, dass eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist und bei konkreten Beispielen kann ich auch Basen finden, aber so allgemein? Und was bedeutet das mit der "endlichen Folge"?
Wär ganz lieb, wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Fr 21.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) ist ja v statt v1, also ist einer der gesuchten v1 die anderen möglichen v sind alle möglichen Linearkombinationen von v1 mit dem Rest, wobei der Koeffizient von v1 ungleich 0 sein muß
b) steht v an einer beliebigen Stelle j entsprechend
hilft das?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi yoshi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich will mal dem Hinweis ein wenig mehr Fülle geben - es wurde zwar schon alles gesagt, aber ich denke, es hilft mehr dies ein wenig zu konkretisieren:
also da [mm] B=(v_1 [/mm] , ... [mm] ,v_n [/mm] ) eine Basis darstellt, kann man jedes v als LinearKombination davon darstellen: $ v = [mm] a_1 *v_1 [/mm] + [mm] a_2 *v_2 +...+a_n *v_n=\summe_{i=1}^{n}a_i *v_i [/mm] $
so, jetzt geh mal kurz davon aus, dass B'=(v , [mm] v_2 [/mm] ,..., [mm] v_n [/mm] ) eine Basis bildet, dann kann man einen anderen beliebigen Vektor v' auch als LinKombi davon darstellen:
EDIT: Vorsicht in folgender Formel ist ein kleiner Fehler...
$ [mm] v'=b_1 [/mm] *v + [mm] b_2 *v_2 +...+b_n *v_n [/mm] = [mm] b_1 [/mm] *v [mm] +\summe_{i=2}^{n}b_i [/mm] *v _i $
jetzt setzen wir die Darstellung von v ein :
$ v'= [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i *v_i +\summe_{i=2}^{n}b_i [/mm] *v _i [mm] =a_1 *v_1 +\summe_{i=2}^{n}(a_i +b_i [/mm] )*v _i $
was sehen wir jetzt daran?
naja - es gibt sicher einen allgemeinen Vektor v' in V, der als Komponente in [mm] v_1 [/mm] richtung nicht Null ist (z.B. der erste Standardvektor bzgl B), also was folgt daraus jetzt für [mm] a_1 [/mm] ?
wie leduart schon schrieb : $ [mm] a_1 \not= [/mm] 0 $ ist damit Vorraussetzung, dass B' auch Basis ist ! Also sind die gesuchten v gerade die, deren erster Koeffizient nicht verschwindet !
so, diese Überlegung kannst du auch auf b) übertragen - kannst ja mal deine Versuche hier posten! (wie man Formeln schreibt, siehst du, wenn du auf obige klickst und verwendest - oder die Hilfssymbole drunter verwenden.)
Hinweis: hier musst du halt darauf achten, dass es FÜR ALLE j gelten soll...
hoffe, es hilft jetzt etwas mehr
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
das hilft mir wirklich etwas mehr als der Hinweis :) Mir sind aber leider immernoch 2 Dinge unklar:
1. Wenn ich die Darstellung von v in die von v' einsetze, müsste dann nicht das [mm] b_{1} [/mm] stehen bleiben? Also
v'= [mm] b_{1} \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{n}b_{i}v_{i}
[/mm]
Oder fällt das dann einfach weg?
2. Warum seh ich nun daran, dass es einen v' Vektor gibt, der nicht 0 ist? Und was sagt mir das, wenn ich weiß, dass der nicht 0 ist?
Sorry, Mathe ist beizeiten echt kompliziert =/
Zu b)
Wenn ich diese Lösung auf b) übertrage, habe ich in den Formeln immernoch [mm] b_{j-1}v_{j-1} [/mm] + [mm] b_{j+1}v_{j+1} [/mm] stehen. In der Aufgabe steht konkret 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n, was ich gestern nicht darstellen konnte. Wenn j=1 ist, habe ich wieder bv, was ich ja dann als [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} [/mm] darstellen kann, oder? Und [mm] b_{2}v_{2}, [/mm] was doch durch [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i}v_{i} [/mm] sowieso abgedeckt wird. Wenn j=n ist, habe ich n-1, was wiederum bereits abgedeckt ist, bleibt nur noch [mm] b_{n+1}v_{n+1}, [/mm] denn alle j zwischen 1 und n sind doch bereits in der Formel
[mm] \summe_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})v_{i} [/mm] + [mm] b_{j-1}v_{j-1}+b_{j+1}v_{j+1} [/mm] abgedeckt, oder? Könnte ich die Formel dann nicht einfach auf [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] erweitern? Dann wäre B' auch eine Basis, oder?
LG
Jessi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Jessi,
du hast natürlich recht - habe vorhin beim Einsetzen einen kleinen Fehler gemacht, den du erkannt hast. Es muss natürlich so heißen:
$ [mm] v'=b_1 \cdot{}v +\summe_{i=2}^{n}b_i \cdot{}v [/mm] _i [mm] =b_1 *\summe_{i=1}^{n}a_i \cdot{}v_i +\summe_{i=2}^{n}b_i \cdot{}v [/mm] _i [mm] =b_1 *a_1 \cdot{}v_1 +\summe_{i=2}^{n}(b_1 *a_i +b_i )\cdot{}v [/mm] _i $
so, die Basis B (mit [mm] v_1 [/mm] ) soll ja alle Vektoren darstellen können (auch [mm] v_1 [/mm] selbst) .
angenommen wir hätten v jetzt so gewählt, dass $ [mm] a_1 [/mm] =0 $ ist, dann können wir mit der neuen "Basis" (mit v statt [mm] v_1 [/mm] ) [mm] v_1 [/mm] nicht darstellen (also wäre es keine Basis) , weil der Koeffizient davor durch [mm] a_1 [/mm] immer sofort zu 0 wird, also erhalten wir nur Komponenten in die anderen [mm] v_i [/mm] Richtungen !
Demnach muss als Vorraussetzung noch angenommen werden, dass bei v der erste Koeffizient [mm] a_1 [/mm] ungleich null ist.
bei der b) soll man halt nicht [mm] v_1 [/mm] ersetzen, sondern [mm] v_j [/mm] für alle j von 1 bis n!
wenn du diese Überlegung mal statt [mm] v_1 [/mm] ein beliebiges [mm] v_j [/mm] nimmst, wirst du mit denselben Argumenten dazu gelangen, dass der j-te Koeffizient ungleich Null sein muss !
Wenn du dies nun für alle j von 1 bis n machst erhälst du als Vorraussetzung: alle Koeffizienten von v müssen ungleich Null sein.
Aber den Teil b) sollten wir uns erst anschauen, wenn du bei a) keine Fragen mehr hast...
viele Grüße
DaMenge
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