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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:29 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Mach17 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Die Menge F über der über [mm] \IR [/mm] stetigen Funktionen ist ein Vektorraum. |
Guten Morgen!
Also mein Problem besteht eigentlich nicht darin, zu beweisen (z.b. kann ich für alle Polynome höchstens 2. Grades beweisen, dass es ein Vektorraum ist).
Nun weiss ich aber gar nicht, was ich "nehmen kann" für über F stetige Funktionen. (z.b. musste man bei Polynomen höchstens 2. Grades [mm] ax^2+bx+c [/mm] nehmen)
Ein kleiner Denkanstoß wäre echt hilfreich 
Danke schonmal
mfg
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> Beweisen Sie:
> Die Menge F über der über [mm]\IR[/mm] stetigen Funktionen ist ein
> Vektorraum.
> Nun weiss ich aber gar nicht, was ich "nehmen kann" für
> über F stetige Funktionen. (z.b. musste man bei Polynomen
> höchstens 2. Grades [mm]ax^2+bx+c[/mm] nehmen)
Hallo,
habt Ihr schon gezeigt, daß die reellen Funktionen über [mm] \IR [/mm] einen VR bilden? Dann mußt Du ja nur die Unterraumeigenschaften nachweisen.
Du mußt hier sehr allgemein arbeiten.
Du nimmst einfach zwei Funktionen f,g [mm] \in [/mm] F.
Für die Abgeschlossenheit z.B. ist ja nun zu zeigen, daß f+g auch in F ist, dh., daß diese Funktion stetig ist.
Hierzu greifst Du auf Sätze aus der Analysis zurück.
Also so: seien f,g [mm] \in [/mm] F.
Da die Summe stetiger Funktionen stetig ist, ist f+g stetig, also in F.
Falls noch nicht gezeigt würde, daß die reellen Funktionen einen VR bilden, mußt Du ja sämtliche Axiome nachweisen.
Für die Assoziativität z.B. mußt Du hierfür auf die Def. der Summe v. Funktionen zurückgreifen.
Zu zeigen ist ja, daß für alle f,g,h [mm] \in [/mm] F gilt (f+g)+h=f+(g+h).
Dies bedeutet ja: es gilt für alle [mm] x\in \IR [/mm] [ (f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x), und dies beweist Du dann zurückgreifend auf die Def.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Mach17 |
Hallo!
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe 
Also wir haben bisher noch nicht gezeigt, das alle reellen Funktionen über [mm] \IR [/mm] einen Vektorraum bilden. Das dürfte aber eigentlich kein großes Problem sein. Muss ich dann einfach sämtliche Axiome nachweisen mit z.b. f(x), g(x) [mm] \in \IR [/mm] oder muss ich das ganze ausführlicher machen?
(also mit z.b. ... ax³+bx²+cx+d oder so..)
Und eine Kleinigkeit am Schluss habe ich nicht ganz verstanden, undzwar:
[ (f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)
(also das in der eckigen Klammer ist mir klar, aber warum danach noch ein (x) kommt versteh ich nicht?)
Danke nochmals
mfg
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Hallo!
> Hallo!
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe
> Also wir haben bisher noch nicht gezeigt, das alle reellen
> Funktionen über [mm]\IR[/mm] einen Vektorraum bilden. Das dürfte
> aber eigentlich kein großes Problem sein. Muss ich dann
> einfach sämtliche Axiome nachweisen mit z.b. f(x), g(x) [mm]\in \IR[/mm]
> oder muss ich das ganze ausführlicher machen?
Wie du schon sagtest musst du dann sämtliche Axiome nacheinander nachweisen.
> (also mit z.b. ... ax³+bx²+cx+d oder so..)
>
Nein, es recht zu sagen dass du dir Funktionen f,g,h [mm] \in [/mm] F herausnimmst, dann ist das klar.
> Und eine Kleinigkeit am Schluss habe ich nicht ganz
> verstanden, undzwar:
> [ (f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)
>
> (also das in der eckigen Klammer ist mir klar, aber warum
> danach noch ein (x) kommt versteh ich nicht?)
>
Das bedeutet einfach dass die Funktion von der Variablen x abhängt UND für alle x erfüllt bleiben muss.
> Danke nochmals
>
> mfg
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Mach17 |
okay
Danke
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