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Vektorraum: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Sa 13.12.2014
Autor: canyakan95

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo
Könnt ihr mir vllt helfen und zeigen wie ich vorgehen muss um vektorräume
Zu zeigen??


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 So 14.12.2014
Autor: angela.h.b.


> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo
> Könnt ihr mir vllt helfen und zeigen wie ich vorgehen muss
> um vektorräume
> Zu zeigen??

>

Hallo,

ich nehme mal an, es soll [mm] V=\IR [/mm] sein?
Und der zugrundeliegende Körper K ist hier auch [mm] \IR, [/mm] denn Du sollst zeigen oder widerlegen, daß V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist.
(Mit dem "R" meinst Du doch [mm] \IR, [/mm] oder?)

Du mußt zunächst einmal die []Vektorraumaxiome vorliegen haben (oder sie im Kopf haben).

Wenn Du beweisen möchtest, daß V mit den gegebenen Verknüpfungen ein Vektorraum ist, mußt Du stumpf die Gültigkeit aller Axiome nachweisen.

Möchtest Du widerlegen, daß es sich um einen VR handelt, so reicht es vorzuzeigen, daß ein einziges Axiom nicht erfüllt ist.

zu Aufgabe 1.

Ich unterscheide hier um der Deutlichkeit willen  die Vektoraddition und die Multiplikation von Skalaren mit Vektoren von der "normalen" Addition und Multiplikation in [mm] \IR. [/mm]

[mm] (V_1) [/mm]
Zu prüfen ist die Kommutativität der Addition.

Seien [mm] a,b\in [/mm] V.
Gilt [mm] a\oplus b=b\oplus [/mm] a?

Schauen wir nach:

[mm] a\oplus [/mm] b= [mm] \sqrt[3]{a^3+b^3} [/mm]
[mm] b\oplus [/mm] a= [mm] \sqrt[3]{b^3+a^3} [/mm]

Ist das gleich? Ja.

Aufschreiben würde man es so:

Seien [mm] a,b\in [/mm] V.

Es ist
[mm] a\oplus [/mm] b= [mm] \sqrt[3]{a^3+b^3}\qquad [/mm] (Def. von [mm] \oplus) [/mm]

[mm]  =\sqrt[3]{b^3+a^3} \qquad [/mm] (Addition in [mm] \IR [/mm] ist kommutativ)

 = [mm] b\oplus [/mm] a [mm] \qquad [/mm] (Def. von [mm] \oplus) [/mm]


[mm] (V_2) [/mm]
Seien [mm] a,b,c\in [/mm] V.

Prüfe, ob

[mm] (a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus [/mm] c).

Wenn es gilt: weiter mit dem nächsten Axiom,
wenn es nicht gilt: die Ungültigkeit mit einem Zahlenbeispiel deutlich machen und dann zur nächsten Aufgabe übergehen.

LG Angela


 

Bezug
                
Bezug
Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 So 14.12.2014
Autor: canyakan95

Danke für die hilfe
Habe eine frage zum 2. teil der aufg1 .muss ich die axiome auch für die multiplikation zeigem??

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 14.12.2014
Autor: angela.h.b.


> Danke für die hilfe
> Habe eine frage zum 2. teil der aufg1 .muss ich die axiome
> auch für die multiplikation zeigem??

Hallo,

prinzipiell mußt Du alle VR-Axiome zeigen, ich hatte sie Dir ja verlinkt.
Nun ist es aber so, daß die Multiplikation mit Skalaren in Deiner zweiten Aufgabe, a[mm] \odot[/mm]b:=a*b, gerade die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] ist, so daß Du Dich natürlich teilweise auf die Gesetze des Rechnens in [mm] \IR [/mm] berufen kannst.

Schauen wir mal  [mm] V_5 [/mm] an:

Zu zeigen oder zu widerlegen ist:

Für alle [mm] \alpha, \beta\in \IR [/mm] und für alle [mm] v\in [/mm] V [mm] (=\IR) [/mm] gilt:

[mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)\odot v=\alpha\odot [/mm] v  [mm] \oplus \beta\odot [/mm] v.

Beachte hierbei die Rechenzeichen:
+ ist die normale Addition im Körper [mm] \IR, [/mm]
[mm] \oplus [/mm] ist die Addition von Vektoren,
[mm] \odot [/mm] ist die Multiplikation von Skalar und Vektor.

Legen wir mal los:

[mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)\odot [/mm] v= [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)* [/mm] v [mm] \qquad [/mm] (nach Def. von [mm] \odot) [/mm]

= [mm] \alpha* v+\beta* [/mm] v [mm] \qquad [/mm]  (Rechnen in [mm] \IR) [/mm]


[mm] \alpha\odot [/mm] v  [mm] \oplus \beta\odot [/mm] v= [mm] \alpha* [/mm] v  [mm] \oplus \beta* [/mm] v  [mm] \qquad [/mm] (nach Def. von [mm] \odot) [/mm]

=???

Beachte dabei, daß [mm] p\oplus q:=\sqrt[3]{p^3+q^3}. [/mm]

LG Angela












LG Angela

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 So 14.12.2014
Autor: canyakan95

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Eig habe ich doch damit gezeigt
, dass es für die aufgabe 1 kein vektorraum ist oder fehlt da noch was ??

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 So 14.12.2014
Autor: canyakan95

Habe da noch eine frage
wenn ich bei der aufg1 schon gezeigt habe, dass die 2.regel nicht gilt und das kein vektorraum ist, kann ich doch daraus schließen , dass die 2.aufgabe kein vektorraum ist, weil sich die Verknüpfung dort nicht verändert.

Bezug
                                        
Bezug
Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 So 14.12.2014
Autor: angela.h.b.


> Habe da noch eine frage
> wenn ich bei der aufg1 schon gezeigt habe, dass die
> 2.regel nicht gilt und das kein vektorraum ist, kann ich
> doch daraus schließen , dass die 2.aufgabe kein vektorraum
> ist, weil sich die Verknüpfung dort nicht verändert.

Hallo,

ja, wenn die Aufgabenstellung exakt so ist, wie Du sie hingeschrieben hast und ich die fehlenden Details richtig erraten habe, ist das so.

LG Angela
 

Bezug
                                
Bezug
Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 So 14.12.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

gibt es einen bestimmten Grund dafür, daß Du denen, von denen Du Hilfe erwartest, diesen Scan zumutest?

Was meinst Du mit dem, was Du schreibst?
Seit wann ist die Addition in [mm] \IR [/mm] nicht kommutativ?
Oder meinst Du, daß die Addition [mm] a\oplus b:=\sqrt[3]{a^3+b^3} [/mm] nicht kommutativ ist? Wenn ja: wie kommst Du darauf?
Seit wann ist [mm] \sqrt[3]{a^3+b^3} [/mm] von [mm] \sqrt[3]{b^3+a^3} [/mm] verschieden?

LG Angela

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Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 So 14.12.2014
Autor: canyakan95

Ne sry habe mich verschrieben.
Die addition (v1) ist kommutativ im vektorraum
aber die assoziativität gilt nicht, deswegen ist es kein vektorraum.
danke für die schnelle hilfe
Mfg

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