Vektorraum-Linearität < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Gegeben seien zwei [mm] \IQ-Vektorräume [/mm] V und W. Zeigen sie, dass jeder Gruppenhomomorphismus f:V [mm] \to [/mm] W schon ein [mm] \IQ-Vektorraumhomomorphismus [/mm] ist.
b) Finden sie einen nicht linearen Gruppenhomomorphismus von [mm] \IQ(\wurzel{3}) [/mm] nach [mm] \IQ(\wurzel{3}). [/mm] |
Hallo,
zu a)
Sei f [mm] \in Hom(\IQ, \IQ) [/mm] und sei x,y [mm] \in \IQ.
[/mm]
Dann f(x+y) = f(x) +f(y) wegen Gruppenhom.
und f(a*b) = [mm] \underbrace{f(b+...+b)}_{a-mal} [/mm] =
[mm] \underbrace{f(b)+...+f(b)}_{a-mal} [/mm] = a * f(b)
Somit sind alle Voraussetzungen für Linearität erfüllt.
Stimmt das so?
Zu b)
Es muss etwas mit der [mm] \wurzel{3} [/mm] zu tun haben, denn in der a) wird ja gezeigt, dass jeder Gruppenhom. [mm] \IQ \to \IQ [/mm] eben linear ist.
Kann mir hier bitte jemand auf die Sprünge helfen, bzw. sagen, ob ich irgendwo falsch liege?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 17.12.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Teil a. muss nicht nur für natürliche Zahlen a (das hast du korrekt gemacht), sondern für alle $ [mm] a\in\IQ [/mm] $ bewiesen werden.
Für Teil b. beachte, dass alle Zahlen $ [mm] z\in\IQ (\wurzel{3}) [/mm] $ geschrieben werden können in der Form $ z = a + [mm] b\wurzel{3} [/mm] $.
Hinweis : konjugiert komplexe Zahlen.
Gruß Sax.
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Hallo,
danke fuer deine Hilfe.
Die Teilaufgabe b) habe ich jetzt geloest, mit deinem Tip war das nicht mehr schwer.
Bei der a) stecke ich jedoch noch fest.
fuer a [mm] \in \IZ [/mm] ist das ganze ja auch noch klar,
denn f(a*b) = f(|a|*(-b)) und damit wieder so, wie ich es oben schon hatte.
Fuer a,b [mm] \in \IQ [/mm] komme ich so weit:
[mm] f(\bruch{p}{q} [/mm] * [mm] \bruch{a}{b}) [/mm] = ... =
p*a * [mm] f(\bruch{1}{qb})
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter :(
Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben?
Danke vielmals!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
ich glaube Du hast teil a) nicht verstanden.
Es sind V und W Vektorräume über [mm] \IQ.
[/mm]
Weiter sei f:V [mm] \to [/mm] W eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
1. f(0)=0 und 2. f(u+v)=f(u)+f(v) für alle u,v [mm] \in [/mm] V.
Zeigen sollst Du: [mm] f(\lambda*u)= \lambda*f(u) [/mm] für alle [mm] \lambda \in \IQ [/mm] und für alle u [mm] \in [/mm] V.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Do 02.01.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Hallo,
danke für die Hilfe.
Sorry dass ich erst jetzt antoworte, mein Internetanbieter hat leider einen Fehler verursacht und ich war nicht mehr im Netz.
Guten Rutsch!
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