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Hallo zusammen
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Zeige:
a) 1, [mm] \wurzel{2}, \wurzel{3} [/mm] sind linear unabhängig über [mm] \IQ
[/mm]
b) [mm] \IR, [/mm] ist unendlichdimensional als Vektorraum über [mm] \IQ
[/mm]
Mein Ansatz:
a) Seien a,b,c [mm] \in \IQ
[/mm]
a + b [mm] \wurzel{2} [/mm] + c [mm] \wurzel{3} [/mm] = 0
a + b [mm] \wurzel{2} [/mm] = -c [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] a^{2} [/mm] + [mm] 2ab\wurzel{2} [/mm] + [mm] 2b^{2} [/mm] = [mm] 3c^{2}
[/mm]
Wie muss ich nun weiter vorgehen?
b) Habe ich keine Ahnung! HILFE!!!!
Liebe Grüsse
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> Hallo zusammen
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> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
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> Zeige:
> a) 1, [mm]\wurzel{2}, \wurzel{3}[/mm] sind linear unabhängig über
> [mm]\IQ[/mm]
> b) [mm]\IR,[/mm] ist unendlichdimensional als Vektorraum über [mm]\IQ[/mm]
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> Mein Ansatz:
>
> a) Seien a,b,c [mm]\in \IQ[/mm]
> a + b [mm]\wurzel{2}[/mm] + c [mm]\wurzel{3}[/mm] =
> 0
> a + b [mm]\wurzel{2}[/mm] = -c [mm]\wurzel{3}[/mm]
> [mm]a^{2}[/mm] + [mm]2ab\wurzel{2}[/mm] + [mm]2b^{2}[/mm] = [mm]3c^{2}[/mm]
>
> Wie muss ich nun weiter vorgehen?#
Hallo,
für [mm] a,b\not=0 [/mm] kannst Du nach [mm] \wurzel{2} [/mm] auflösen und einen Widerspruch entdecken.
Dann kannst Du weiter untersuchen für a=0 bzw. b=0.
>
> b) Habe ich keine Ahnung! HILFE!!!!
Mach einen Beweis durch Widerspruch.
Nimm an, daß es eine endliche Basis gibt.
Wie kann man dann jedes [mm] r\in \IR [/mm] schreiben?
Bedenke, daß [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist.
Wieviel Elemente bekommst Du als Linearkombination der Basisvektoren?
Was weißt Du über die Mächtigkeit von [mm] \IR?
[/mm]
Gruß v. Angela
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