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| Aufgabe 1 | Aufgabe1:
Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, 2, 3, 4) und (−1, 2,−3, 4) linear unabhängig
im [mm] \IQ-Vektorraum \IQ^{4} [/mm] sind und ergänzen Sie sie zu einer Basis von [mm] \IQ^{4}.
[/mm]
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| Aufgabe 2 | Aufgabe2:
Sei W [mm] \subset \IR^{4}, [/mm] die lineare Hülle der Vektoren
(1, 2,−1, 0), (4, 8,−4,−3), (0, 1, 3, 4) und (2, 5, 1, 4). Bestimmen Sie eine Basis
von W. |
Hallo!
Hab leider die Definition von einer Basis noch nicht so richtig verstanden und tu mich deshalb mit den Aufgaben ein bisschen schwer...
Zu Aufgabe1:
Die lin. Unabhängigkeit hab ich gezeigt, aber wie ergänz ich die zu einer Basis? Muss ich da erst die lineare Hülle aufstellen?
Wär toll wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären könnte wie man da vorgeht!
Zu Aufgabe2:
Was muss ich da zuerst machen? Schauen ob die Vektoren lin. Unabhängig sind? Wenn sie das sind, dann hab ich ja schon eine Basis oder?
Lg SirBigMac
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Aufgabe1:
> Zeigen Sie, dass die Vektoren (1, 2, 3, 4) und (−1,
> 2,−3, 4) linear unabhängig
> im [mm]\IQ-Vektorraum \IQ^{4}[/mm] sind und ergänzen Sie sie zu
> einer Basis von [mm]\IQ^{4}.[/mm]
>
> Aufgabe2:
> Sei W [mm]\subset \IR^{4},[/mm] die lineare Hülle der Vektoren
> (1, 2,−1, 0), (4, 8,−4,−3), (0, 1, 3, 4)
> und (2, 5, 1, 4). Bestimmen Sie eine Basis
> von W.
> Zu Aufgabe1:
> Die lin. Unabhängigkeit hab ich gezeigt, aber wie ergänz
> ich die zu einer Basis? Muss ich da erst die lineare Hülle
> aufstellen?
> Wär toll wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären
> könnte wie man da vorgeht!
Ich würde so vorgehen: Fange mit der kanonischen Basis und und tausche nach dem Austauschlemma zwei der kanonischen Basisvektoren gegen die beiden gegebenen aus (achte darauf, wann du Vektoren austauschen darfst; das sieht man anhand des obigen Beweises des Austauschlemmas). Dieses Vorgehen ist schneller als das mühseligen "direkte" Ergänzen zu einer Basis.
> Zu Aufgabe2:
> Was muss ich da zuerst machen? Schauen ob die Vektoren
> lin. Unabhängig sind? Wenn sie das sind, dann hab ich ja
> schon eine Basis oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ansonsten wirfst du Vektoren raus, die sich als Linearkombination anderer darstellen lassen. Irgendwann gibt es keine solche Vektoren mehr. Dann bist du fertig. 
Liebe Grüße
Stefan
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> Dieses Vorgehen ist schneller als das
> mühseligen "direkte" Ergänzen zu einer Basis.
Wie sieht denn das "direkte" ergänzen zu einer Basis aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Damit meinte ich das Hinzufügen neuer Vektoren "nach Augenmaß" und die anschließende Überprüfung, ob die entstehende Familie linear unabhängig ist...
Liebe Grüße
Stefan
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