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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorklausuraufgabe Unklar
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Vektorklausuraufgabe Unklar: Musterlösung anders als meine
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Mo 16.04.2012
Autor: ObiKenobi

Aufgabe
Gegeben : A = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm]
Gesucht : [mm] (A-2E)^{-1} [/mm]

Meine Rechnung :
A-2E =  [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -4 } [/mm]
det(A-2E) = -9

[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-9}*\pmat{ 4 & -1 \\ -1 & 2 } [/mm]

Musterlösung:

A-2E =  [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -4 } [/mm]
det(A-2E) = -9

[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}*\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm]

Die Regel für die Inverse Matrix ist doch :

[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)}*adj(A) [/mm]

nach dieser Regel komm ich auf obiges Ergebnis aber die Musterlösung ist irgendwie nicht so. Wo liegt mein Fehler?
        
Bezug
Vektorklausuraufgabe Unklar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mo 16.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo ObiWan,


> Gegeben : A = [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm]
>  Gesucht :
> [mm](A-2E)^{-1}[/mm]
>  
> Meine Rechnung :
>  A-2E =  [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -4 }[/mm] [ok]
>  det(A-2E) = -9
>  
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-9}*\pmat{ 4 & -1 \\ -1 & 2 }[/mm] [notok]
>  
> Musterlösung:
>  
> A-2E =  [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -4 }[/mm]
>  det(A-2E) = -9
>  
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{9}*\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm] [ok]
>  Die Regel
> für die Inverse Matrix ist doch :
>  
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{det(A)}*adj(A)[/mm]

Für [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen: [mm]A^{-1}=\pmat{a&b\\ c&d}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\cdot{}\pmat{d&-b\\ -c&a}[/mm]

Es werden also die Elemente auf der Hauptdiagonale nur getauscht, die auf der Nebendiagonale bekommen einen Vorzeichenwechsel verpasst.


>  
> nach dieser Regel komm ich auf obiges Ergebnis aber die
> Musterlösung ist irgendwie nicht so. Wo liegt mein Fehler?

Du hast als erstes Element in der Inversen eine 4, das muss ne -4 sein, du musst nur tauschen auf der Hauptdiagonalen ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Vektorklausuraufgabe Unklar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Mo 16.04.2012
Autor: ObiKenobi

Okay also wird aus
A-2E =   [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -4 } [/mm]
dann
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-9} \pmat{ -4 & -1 \\ -1 & 2 } [/mm]
und wegen dem [mm] \bruch{1}{-9} [/mm] kann ich die Vorzeichen ja wieder tauschen,
also ist das "entgültige" ergebnis
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & -2 } [/mm]

recht so? Oder hab ichs falsch verstanden? Würd mich diesmal nämlich ganz gern "richtig" auf die Nachklausur vorbereiten :-P
Bezug
                        
Bezug
Vektorklausuraufgabe Unklar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Mo 16.04.2012
Autor: fred97


> Okay also wird aus
> A-2E =   [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -4 }[/mm]
>  dann
>  [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-9} \pmat{ -4 & -1 \\ -1 & 2 }[/mm]
>  und
> wegen dem [mm]\bruch{1}{-9}[/mm] kann ich die Vorzeichen ja wieder
> tauschen,
>  also ist das "entgültige" ergebnis
>  [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{9} \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm]
>  
> recht so?

Ja, aber statt [mm]A^{-1}[/mm]  schreibe [mm](A-2E)^{-1}[/mm]

FRED

> Oder hab ichs falsch verstanden? Würd mich
> diesmal nämlich ganz gern "richtig" auf die Nachklausur
> vorbereiten :-P

Bezug
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