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Vektorisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Do 30.04.2020
Autor: James90

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu folgender Schreibweise:

[mm] $\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=a^Tx$. [/mm]

Die Notation des Summenzeichens ist klar:

[mm] $\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=a_1x_1+\ldots+a_nx_n$. [/mm]

Meine Idee:

Definiere zwei Vektoren [mm] $a:=\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n}$ [/mm] und [mm] $x:=\vektor{x_1 \\ \vdots \\x_n}$. [/mm] Dann folgt mit der Skalarmultiplikation

[mm] a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax. [/mm]

Wenn wir $a$ aber als [mm] $n\times [/mm] 1$-Matrix definieren, dann erhalten wir in der Tat

[mm] a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx [/mm]

Warum entscheidet man sich für [mm] a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx [/mm] und nicht für [mm] a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax? [/mm] Stattdessen könnte man auch auch $x$ als [mm] $n\times [/mm] 1$-Matrix definieren und man würde auf [mm] a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax^T [/mm] kommen ...

Übersehe ich etwas?

Danke und schönes Wochenende!

        
Bezug
Vektorisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Do 30.04.2020
Autor: statler


> Hallo zusammen,

Hallo du einer :)

>  
> ich habe eine Frage zu folgender Schreibweise:
>  
> [mm]\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=a^Tx[/mm].
>  
> Die Notation des Summenzeichens ist klar:
>  
> [mm]\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=a_1x_1+\ldots+a_nx_n[/mm].
>  
> Meine Idee:
>  
> Definiere zwei Vektoren [mm]a:=\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n}[/mm]
> und [mm]x:=\vektor{x_1 \\ \vdots \\x_n}[/mm].

Vielleicht besser [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \ldots [/mm]

> Dann folgt mit der
> Skalarmultiplikation
>  
> [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax.[/mm]

Das folgt so nicht, sondern das haben wir so definiert. Ich bitte, hier schon mal zu beachten, daß der Multiplikationspunkt in [mm] $a_1 \cdot x_1$ [/mm] eine andere Multiplikation beschreibt als der Multiplikationspunkt in [mm] $\vec{a} \cdot \vec{x}$. [/mm]

Jetzt gibt es zusätzlich noch für Matrizen [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{N}$ [/mm] eine weitere Multiplikation [mm] $\mathcal{M} \cdot \mathcal{N}$. [/mm] Haben möchte man, daß das handelsübliche Produkt von Zahlen und das Skalarprodukt von Vektoren auch einfach nur Spezialfälle der Matrizenmultiplikation sind. Und wenn man Vektoren als Spalten schreibt, dann führt das zur Schreibweise [mm] $\vec{a}^T \cdot \vec{x}$ [/mm]

>  
> Wenn wir [mm]a[/mm] aber als [mm]n\times 1[/mm]-Matrix definieren, dann
> erhalten wir in der Tat
>  
> [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx[/mm]
>  
> Warum entscheidet man sich für [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx[/mm]
> und nicht für [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax?[/mm] Stattdessen könnte
> man auch auch [mm]x[/mm] als [mm]n\times 1[/mm]-Matrix definieren und man
> würde auf [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax^T[/mm] kommen ...

Nee, das könnte man nicht! [mm] $\vec{a} \cdot \vec{x}^T \ldots$ [/mm]

>  
> Übersehe ich etwas?

Ja!
[mm] \ldots [/mm] ist eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix.

Gruß
Dieter

Bezug
                
Bezug
Vektorisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Do 30.04.2020
Autor: James90

Hallo Dieter,

vielen Dank für deine Antwort!

> > Hallo zusammen,
>  
> Hallo du einer :)
>  
> >  

> > ich habe eine Frage zu folgender Schreibweise:
>  >  
> > [mm]\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=a^Tx[/mm].
>  >  
> > Die Notation des Summenzeichens ist klar:
>  >  
> > [mm]\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=a_1x_1+\ldots+a_nx_n[/mm].
>  >  
> > Meine Idee:
>  >  
> > Definiere zwei Vektoren [mm]a:=\vektor{a_1 \\ \vdots \\ a_n}[/mm]
> > und [mm]x:=\vektor{x_1 \\ \vdots \\x_n}[/mm].
>
> Vielleicht besser [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\ldots[/mm] und [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\ldots[/mm]

Geschmackssache ... :-)

> > Dann folgt mit der
> > Skalarmultiplikation
>  >  
> > [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax.[/mm]
>  
> Das folgt so nicht, sondern das haben wir so definiert. Ich
> bitte, hier schon mal zu beachten, daß der
> Multiplikationspunkt in [mm]a_1 \cdot x_1[/mm] eine andere
> Multiplikation beschreibt als der Multiplikationspunkt in
> [mm]\vec{a} \cdot \vec{x}[/mm].

Stimmt, das hätte ich besser aufschreiben müssen!

> Jetzt gibt es zusätzlich noch für Matrizen [mm]\mathcal{M}[/mm]
> und [mm]\mathcal{N}[/mm] eine weitere Multiplikation [mm]\mathcal{M} \cdot \mathcal{N}[/mm].
> Haben möchte man, daß das handelsübliche Produkt von
> Zahlen und das Skalarprodukt von Vektoren auch einfach nur
> Spezialfälle der Matrizenmultiplikation sind.
> Und wenn man
> Vektoren als Spalten schreibt, dann führt das zur
> Schreibweise [mm]\vec{a}^T \cdot \vec{x}[/mm]

Habe ich das nicht im Folgenden gemacht?

> > Wenn wir [mm]a[/mm] aber als [mm]n\times 1[/mm]-Matrix definieren, dann
> > erhalten wir in der Tat
>  >  
> > [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx[/mm]

Stimmt das nicht? Dann bleibt weiterhin meine Frage:

> > Warum entscheidet man sich für [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx[/mm]
> > und nicht für [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax?[/mm]

Ab hier habe ich natürlich Mist gebaut ...

> > Stattdessen könnte
> > man auch auch [mm]x[/mm] als [mm]n\times 1[/mm]-Matrix definieren und man
> > würde auf [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax^T[/mm] kommen ...
>  
> Nee, das könnte man nicht! [mm]\vec{a} \cdot \vec{x}^T \ldots[/mm]
>  
> >  

> > Übersehe ich etwas?
>  
> Ja!
>  [mm]\ldots[/mm] ist eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix.

Merci! :-)

Viele Grüße!

Bezug
                        
Bezug
Vektorisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:19 Fr 01.05.2020
Autor: statler

Guten Morgen!

> [mm] $\ldots$ [/mm] Dann bleibt weiterhin meine Frage:
>  
> > > Warum entscheidet man sich für [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx[/mm]
> > > und nicht für [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax?[/mm]

Wenn man das Skalarprodukt als Matrizenmultiplikation auffaßt, ist [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=a^Tx[/mm] die richtige Schreibweise, weil der erste Faktor so viele Spalten haben muß wie der zweite Faktor Zeilen hat. Wenn man das Skalarprodukt ohne Rückgriff auf Matrizen definiert, ist [mm]a_1x_1+\ldots+a_nx_n=ax[/mm] richtig. Letzteres ist in der Schule üblich, die erste Schreibweise ist sozusagen für Fortgeschrittene.
Man muß übrigens Vektoren nicht als Spalten schreiben, sondern kann sie auch als Zeilen schreiben. Das führt dann zu $a [mm] \cdot x^T$ [/mm] als Skalarprodukt.

Gruß Dieter

Bezug
                                
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Vektorisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Fr 01.05.2020
Autor: James90

Vielen lieben Dank Dieter! :-)

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