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Vektorengeometrie: Schnittpunkt bei unts. Skal.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 22.02.2016
Autor: braesig

Hallo,

ich habe eine Frage. Kann ich den Schnittpunk zweier Geraden, die orthognal zueinander sind berechnen, wenn die Skalierung meiner x- und y- Achse unterschiedlich sind.

Im Anhang habe ich mein Beispiel angehängt.

Ich muss den Schnittpunkt P(0) berechnen. Ich habe versucht das ganze über Analysis zu lösen, aber wenn ich das Ergebnis zeichnerisch überprüfe, kommt ein falsches Ergebnis raus.

Bei den Berechnung für 2D Vektoren bin ich mir leider ziemlich unsicher.

Danke für eure Hilfe

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: FB Gruppe - "Mathe Abitur"

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Vektorengeometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Mo 22.02.2016
Autor: HJKweseleit

Dein Bild ist noch gesperrt, aber ich kann dir schon folgendes sagen:

Stell dir im normalen Koordinatensystem die beiden Geraden y=x und y=-x vor. Ihre Steigungen sind 45 ° bzw -45 °, und sie stehen senkrecht aufeinander (x-förmig).

Jetzt stauchst du deine Ebene nur in x-Richtung auf die Hälfte zusammen. Dadurch würde sich ein  Buchstabe x in der Höhe nicht ändern, aber nur noch halb so breit sein, und damit würden die beiden Scheitelwinkel in der Taille links und rechts viel größer werden, also mehr als 90 ° betragen.

Allerdings: In Zahlen ausgedrückt wäre die "mathematische Steigung" immer noch [mm] \Delta y/\Delta [/mm] x = 1 bzw. -1, geometrisch aber nicht mehr. Alle geometrischen Steigungen (d.h.: Steigungsdreieck mit dem Lineal gemessen und Höhe durch Breite geteilt) wären doppelt so groß wie zuvor.

Bezug
        
Bezug
Vektorengeometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Mo 22.02.2016
Autor: HJKweseleit

Ich sehe jetzt dein Bild. Was von der gesuchten Geraden ist denn bekannt? Ein anderer Punkt, und du sollst den Schnittpunkt berechnen? Und was heißt nun orthogonal? Mit dem Geodreieck auf deinem Blatt, oder orthogonal, wenn das KS nicht gestaucht wäre?

Bezug
                
Bezug
Vektorengeometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mo 22.02.2016
Autor: braesig

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das mit dem Stauchen habe ich leider nocht nicht ganz verstanden.

Zu deiner Frage:

Ich habe die Funktion der Geraden:
f(x) = 0,015x

und ich habe einen Punkt:
P1(0,5%|1,75%)

Die Achsen haben aber eine unterschiedliche Skalierung.

Nun möchte ich eine Gerade (im rechten Winkel von der Ausgangsgerade ausgehen) durch den Punkt P(1) ziehen und den Schnittpunkt mit der beiden Geraden berechnen (nicht ablesen!)

Nach meiner Rechnung kommt dann für die Schnittstelle folgende Koordinate heraus: (0,53% | 0,79%). Wenn ich aber das ganze zeichnerisch löse, müsste ein Wert von (0,8% | 1,1%) heraus kommen. Ich frage mich nun, ob das damit zusammenhängt, dass die Skalierung der x- und y-Achse unterschiedlich ist.


Hier habe ich mal die Dateien hochgeladen und alles was ich bisher errechnet habe: https://www.dropbox.com/sh/0b0lmv8s8dd087k/AADN0X9C4iZIGAHRjMh6kfbSa?dl=0

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Bezug
Vektorengeometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mo 22.02.2016
Autor: chrisno

Ganz kurz:
Verändere mal die Skala der y-Achse (verdoppeln) Dann wirst DU sehen, dass eine ursprünglich senkrechte auf die Gerade nicht mehr senkrecht ist.

Mein Vorschlag:
Versehe die y-Achse mit einer zweiten Einteilung, die genau so wie die der x-Achse ist. Nun kannst Du zu jedem Original-y-Wert einen neuen berechnen (durch multiplizieren). Mit diesen neuen y-Werten kannst Du nun alle Rechnungen ausführen.

Bezug
                        
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Vektorengeometrie: Rückfrage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mo 22.02.2016
Autor: HJKweseleit

Dein Bild ist nicht stimmig, und so weiß ich nicht, wie ich dein Problem lösen kann.

Wenn f(x)=0,015x ist, dann ist z.B. f(1)=0,015. In deinem Bild ist aber der y-Wert bei x=1 nicht 0,015, sondern 0,15, also 10 mal größer.

Dann zeichnest du den Punkt P(0,5|0,175) ein, bezeichnest ihn aber mit [mm] P_1(0,5|1,75), [/mm] und jetzt ist der y-Wert im Bild 10 mal kleiner.

Die Prozentzeichen erklären die Verwirrung auch nicht, denn sie würden sowohl bei x als auch bei y einen Faktor 100 ausmachen.

Lass bitte die %-Zeichen weg. Wenn du alles in % angibst, dann schreib einfach 5 statt 5%, wenn nicht, dann schreib 0,05 statt 5%, sonst weiß man nicht, was los ist.

Gib nun aber noch mal an, wie die Gleichung deiner Geraden heißt und wie der Punkt [mm] P_1. [/mm]




Hier ein Beispiel für eine vektorielle Lösung folgender Aufgabe:

Gegeben: Gerade g:y=0,015 x und Gerade h senkrecht dazu durch P(0,5|1,75).
Gesucht: gemeinsamer Schnittpunkt.

Lösung: g geht durch den Ursprung und hat die Steigung 0,015. Wenn man 1 Einheit in x-Richtung geht, geht man also 0,015 Einheiten in y-Richtung. Daher ist ein Richtungsvektor

[mm] \vektor{1 \\ 0,015}, [/mm] und da g durch den Ursprung geht, ist

[mm] g:\vec{x}=k*\vektor{1\\ 0,015} [/mm]

h steht senkrecht darauf. Daher muss man die Koord. des Richtungsvektors vertauschen und bei einer das Vorzeichen ändern. Damit hat h den Richtungsvektor [mm] \vektor{0,015 \\-1}. [/mm]

Da h durch P geht, kann man h ansetzen als

h: [mm] \vec{x}=\vektor{0,5\\1,75}+m*\vektor{0,015\\-1}. [/mm]

Schnittpunkt P: [mm] \vec{x}=k*\vektor{1\\ 0,015}=\vektor{0,5\\1,75}+m*\vektor{0,015\\-1} [/mm]

Lösung: k=0,52613... und m=1,7421...


Bezug
                        
Bezug
Vektorengeometrie: Stauchen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 Mo 22.02.2016
Autor: HJKweseleit

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hier siehst du die Geraden y=x und y=-x. Sie schneiden sich orthogonal.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Nun habe ich die x-Achse auf die Hälfte gestaucht. Die Geraden schneiden sich nicht mehr orthogonal im geometrischen Sinne (wohl im mathematischen Sinne, wenn man auf ein nicht-gestauchtes KS umrechnet).

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dies sind die Graphen y=x und [mm] y=-\bruch{x}{4}. [/mm] Sie schneiden sich nicht orthogonal.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Nun habe ich die x-Achse wieder mit dem Faktor 0,5 gestaucht. Jetzt schneiden sie sich geometrisch (Geodreieck) orthogonal, nicht aber im mathematischen Sinne.

Welche Gerade suchst du in deinem KS? Die sich geometrisch oder die sich mathematisch orthogonal mit der anderen schneidet?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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