Vektoren zwei Unbekannte abhän < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Sa 28.10.2006 | | Autor: | gender |
Also
ich hab die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] mit element [mm] \IR^{4} [/mm] hoch 4
[mm] v_{1}:= \vektor{9 \\ 2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
[mm] v_{2}:= \vektor{2 \\ a \\ 4 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{3}:= \vektor{3 \\ 4 \\ b \\ 2}
[/mm]
Frage:
Für welche a und b sind [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] linear unabhängig?
Wie die Bedingungen sind, dass Vektoren linear unabhängig sind usw. ist mir klar, nur das lösen des Gleichungssystem und vor allem die dabei enthaltenen zwei unbekannten a und b machen mir probleme...
Anders geschrieben heißt es doch also: für welche a, b ist nur [mm] \alpha, \beta, \delta [/mm] =0 möglich ?
Dann stelle ich folgendes Gleichungssystem auf:
I 9* [mm] \alpha [/mm] + 2 * [mm] \beta [/mm] + 3 * [mm] \delta [/mm] = 0
II 2* [mm] \alpha [/mm] + a * [mm] \beta [/mm] + 4 * [mm] \delta [/mm] = 0
III 3* [mm] \alpha [/mm] + 4 * [mm] \beta [/mm] + b * [mm] \delta [/mm] = 0
IV 4* [mm] \alpha [/mm] + 1* [mm] \beta [/mm] + 2 * [mm] \delta [/mm] = 0
Wie löse ich das jetzt auf, und vor allem wie mache ich das mit den Unbekannten a und b....
ist das aber so mit gleichungen erstmal richtig usw. ???
kann mir einer erläutern wie das geht....
wäre super....
danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Sa 28.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du das LGelichungssystem löst, solltes du am Ende eine Bedungung á la a=5b, oder a+5=b bekommen,
Damit hättest du dann deine Bedingung.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 29.10.2006 | | Autor: | gender |
wirklich vielen dank für die antwort
aber wie komme ich darauf... wie mache ich das...
könnte mir das bitte wer erläutern ?????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 29.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Also.
Folgendes GLS gilt es zu lösen.
[mm] \vmat{9x+2y+3z=0\\2x+ay+4z=0\\3x+4y+bz=0\\4x+y+2z=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{36x+8y+12z=0\\36x+18ay+72z=0\\36x+48y+12bz=0\\36x+9y+18z=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{36x+8y+12z=0\\(8-18a)y-60z=0\\-40y+(12-12b)z=0\\-y-6z=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{9x+2y+3z=0\\(8-18a)y-60z=0\\-40y+(12-12b)z=0\\-y-6z=0}
[/mm]
Aus der letzten Gleichung erhältst du nun: y=-6z
Wenn du das in die anderen Drei Gleichungen einsetzt ergibt sich:
[mm] \vmat{9x+2(-6z)+3z=0\\(8-18a)(-6z)-60z=0\\-40(-6z)+(12-12b)z=0\\-y-6z=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{9x-9z=0\\(108a-48)z-60z=0\\240z-(12-12bz=0\\y=-6z}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{9x-9z=0\\(108a-108)z=0\\(232+12b)z=0\\y=-6z}
[/mm]
Aus der ersten Gleichung gilt nun x=z.
[mm] \gdw\vmat{x=z\\(108a-108)z=0\\(232+12b)z=0\\y=-6z}
[/mm]
Und jetzt gilt da ja z nicht Null sein soll,(dann würden ja auch x und y =0)
1) 108a-108=0 und 2)232+12b=0
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 29.10.2006 | | Autor: | gender |
danke @marius
3 fragen habe ich aber immernoch:
1.
also ersmtal: ist dann
a=1 und b= -58/3 ????
2. Warum soll z nicht = 0 sein ???
3. Im GLS: der erste Schritt ist klar; du multiplizierst die Gleichungen so, dass alle Gleichungen vorne = 36 x sind.
Den folgenden Schritt verstehe ich aber nicht ganz.
Mir scheint als subtrahierst du die 2. und 3. und 4. Zeile mit der 1.
Komischerweise hätte ich dann aber bei allen gleichungen genau ein anderes vorzeichen....
oder was machst du in diesem schritt ????
danke nochmal
ich hoffe, nach diesen Fragen hab ichs kapiert...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 29.10.2006 | | Autor: | kroete_07 |
Wenn z=0 dann auch y=0 und x=0, für linear unabhängigkeit gilt aber das die nicht 0 sein dürfen!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:25 So 29.10.2006 | | Autor: | gender |
ja ok, und wie siehts mit meinen beiden anderen Fragen aus ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 31.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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