Vektoren, rechtwinkl. Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mi 14.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Die Punkte Q(3|0|4), R(4|-2|6) und S(5|0|3) sind die Punkte eines rechtwinkligen Dreiecks.
2.1 Zeigen Sie, dass bei Q ein rechter Winkel ist.
2.2 Berechnen Sie die fehlenden Winkel im Dreieck QRS.
2.3 Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks QRS.
2.4 Ergänzen Sie das Dreieck QRS so, dass ein Rechteck QRST entsteht. Geben Sie die Koordianten des Punktes T an.
2.5 Berechnen Sie die Fläche des Rechtecks QRST.
2.6 Berechnen Sie den Umfang U des Rechtecks QRST.
2.7 Geben Sie den Schnittpunkt D der Diagonalen im Viereck QRST an. |
Hallo Zusammen,
2.1
Dazu muss ich die Formel für das Skalarprodukt verwenden. Um zu zeigen dass bei Q ein rechter Winkel ist, entweder bei QR oder QS.
bei QR [mm] $\gamma$ [/mm] = 15,81°
bei QS [mm] $\gamma$ [/mm] = 22,16°
wenn ich das Dreieck in einem dreidimensionalen Koordinatensystem zeichne, kommt auch kein rechter Winkel vor. Was mach ich falsch?
2.2
geht dann auch über das Skalarprodukt, der einzige Winkel der noch fehlt ist RS
RS: [mm] $\gamma$ [/mm] = 29,44°
2.3
Formel für rechtwinkliges Dreieck
[mm] $A_D [/mm] = [mm] \bruch{a \cdot{} b}{2}$
[/mm]
nun brauche ich zwei Seiten, also nehme ich dafür RQ und SQ. um die Länge zu erhalten wieder voneinander abziehen und den Betrag mit Hilfe der Formel berechnen:
[mm] $|\vec [/mm] RQ| = 3$ -> (a)
[mm] $|\vec [/mm] SQ| = [mm] \wurzel{5}$ [/mm] -> (b)
[mm] $A_D [/mm] = [mm] \bruch{3 \cdot{} \wurzel{5}}{2} [/mm] = 3,35 FE$
2.4
Ich habe die drei Punkte, nun brauch ich noch einen vierten um ein Rechteck zu bilden und zwar T. Um T zu erhalten brauche ich aus allen drei Vektoren jeweils einen Wert (x,y,z):
$T = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$
[/mm]
passt dies so ich will erst weiter rechnen, wenn es passt? Ansonsten macht es keinen Sinn die anderen drei Teilaufgaben zu rechnen. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
2.1
Damit bei Q ein Winkel ist, müssen die Strecken QR und QS einen Winkel von 90° einschließen! Dazu müsstest du die Geraden bestimmen, auf denen SQ und RQ liegen!
Für Schnittwinkel zwischen 2 Geraden (in dem Fall Strecken, die aber auch auf Geraden liegen) brauchst du erst einmal die Geradengleichungen oder zumindest die Richtungsvektoren dieser Geraden!
Dann kannst du das Skalarprodukt heranziehen,d as 0 sein muss.
2.2
Auch hie musst du erst die Geradengleichungen der Seiten des Dreiecks aufstellen! 2 hast du ja schon aus 2.1, also fehlt noch die von RS.
2.3
Stimmt!
2.4
Dieses Verfahren wäre mir neu!
Normalerweise könnte man das so machen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So könnte es aussheen, wenn du es zeichnen würdest. Die grauen Linien sollten dir nun etwas helfen zur Lösung zu kommen!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Do 15.11.2007 | | Autor: | itse |
> 2.1
> Damit bei Q ein Winkel ist, müssen die Strecken QR und QS
> einen Winkel von 90° einschließen! Dazu müsstest du die
> Geraden bestimmen, auf denen SQ und RQ liegen!
> Für Schnittwinkel zwischen 2 Geraden (in dem Fall
> Strecken, die aber auch auf Geraden liegen) brauchst du
> erst einmal die Geradengleichungen oder zumindest die
> Richtungsvektoren dieser Geraden!
> Dann kannst du das Skalarprodukt heranziehen,d as 0 sein
> muss.
Geradengleichung zu [mm] $\vec [/mm] QS$:
$g(Q,S): [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] Q + [mm] \lambda \cdot{} (\vec [/mm] S - [mm] \vec [/mm] Q)$
[mm] $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Geradengleichung zu [mm] $\vec [/mm] QR$:
$g(Q,S): [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] Q + [mm] \lambda \cdot{} (\vec [/mm] R - [mm] \vec [/mm] Q)$
[mm] $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vec QS \cdot{} \vec QR}{|\vec QS| \cdot{} |\vec QR|} [/mm] = [mm] \bruch{0}{\wurzel{5} \cdot{} 3} [/mm] = 0$
-> [mm] $\alpha [/mm] = 90°$
> 2.2
> Auch hie musst du erst die Geradengleichungen der Seiten
> des Dreiecks aufstellen! 2 hast du ja schon aus 2.1, also
> fehlt noch die von RS.
Geradengleichung zu [mm] $\vec [/mm] RS$:
$g(Q,S): [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] R + [mm] \lambda \cdot{} (\vec [/mm] S - [mm] \vec [/mm] R)$
[mm] $\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
[/mm]
$cos [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\vec QR \cdot{} \vec RS}{|\vec QR| \cdot{} |\vec RS|} [/mm] = [mm] \bruch{-9}{3 \cdot{} \wurzel{14}}$
[/mm]
-> [mm] $\beta [/mm] = 143,3°$
$cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{\vec QS \cdot{} \vec RS}{|\vec QS| \cdot{} |\vec RS|} [/mm] = [mm] \bruch{5}{\wurzel{5} \cdot{} \wurzel{14}}$
[/mm]
-> [mm] $\gamma [/mm] = 53,3°$
die summe der winkel müsste 180° ergeben, tut es aber nicht. ich glaube der winkel [mm] $\beta$ [/mm] ist falsch. aber wo habe ich mich verrechnet?
> 2.4
> Dieses Verfahren wäre mir neu!
> Normalerweise könnte man das so machen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> So könnte es aussheen, wenn du es zeichnen würdest. Die
> grauen Linien sollten dir nun etwas helfen zur Lösung zu
> kommen!
Hier komm ich einfach nicht drauf, so ähnlich hab ich es mir auch vorgestellt. Nur wie komm ich zu dem Punkt T? Was muss ich voneinander abziehen? Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 15.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal!
Merk dir, dass der Schnittwinkel zwischen 2 Gerade immer zwischen 0° und 90° liegt!
Wenn du z.B. 130° rauskriegst, musst du 180°-150°=30° als Schnittwinkel nehmen. Wenn du das bei deinem [mm] \beta [/mm] machst, kommst du auf die 180° Innenwinkelsumme!
Und nun zu 2.4:
T kannst du leicht aufstellen, indem du erst einmal den Ortsvektor von T aufstellst, also einen Vektor, der von O zu T geht.
Zu beachten ist hier auch, dass [mm] \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{ST} [/mm] und [mm] \overrightarrow{QS}=\overrightarrow{RT} [/mm] gilt!
Kommst du nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Fr 16.11.2007 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
> Und nun zu 2.4:
>
> T kannst du leicht aufstellen, indem du erst einmal den
> Ortsvektor von T aufstellst, also einen Vektor, der von O
> zu T geht.
> Zu beachten ist hier auch, dass
> [mm]\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{ST}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{QS}=\overrightarrow{RT}[/mm] gilt!
Okay, ich stelle einen Ortsvektor auf, um nun zu einem Punkt im Raum zu gelangen und von dort aus zu T, gehe ich wie folgt vor. Der Punkt S ist mein Ortsvektor, von dort aus möchte ich nun zu T gelangen, diese würde dann über die Strecke [mm] $\overrightarrow{QR}$ [/mm] gehen:
[mm] $\vec [/mm] R - [mm] \vec [/mm] Q = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$g(S,T): [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
mich irritiert der Punkt im Raum. Ich hab nun die Geradengleichung von [mm] $\vec [/mm] ST$ und dann mit Hilfe dieser auf den Punkt der Gerade "fahren". Nur wie bekomm ich nun den Punkt raus? Meine Idee: Um ein Rechteck zu erhalten müssen alle Innenwinkel 90° betragen. Hierzu müsste ich dann aber alle Punkte im Dreieck anpassen. Und es soll nur ergänzt werden um den Punkt T um ein Rechteck zu erhalten. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Fr 16.11.2007 | | Autor: | itse |
ich hab ja nachgewiesen, dass bei [mm] $\vec [/mm] QS$ und [mm] $\vec [/mm] QR$ ein rechter Winkel ist. Und es gilt:
[mm] $\vec [/mm] QS$ = [mm] $\vec [/mm] RT$
[mm] $\vec [/mm] QR$ = [mm] $\vec [/mm] ST$
also muss gegenüber vom rechten Winkel auch ein rechter Winkel existieren. Zwei rechte Winkel innerhalb einer Rechtsecks reichen. Ich hab die beiden anderen auch nochmal überprüft und es sind vier rechte Winkel. Somit habe ich ein Rechteck erhalten und der Punkt T oder Richtungsvektor dessen ist:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] nur mit einem anderen Ortsvektor, würde dies so stimmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Fr 16.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
2.5 Berechnen Sie die Fläche des Rechtecks QRST.
Formel für Fläche eines Rechtecks:
[mm] $A_R [/mm] = a [mm] \cdot{} [/mm] b$
[mm] $A_R [/mm] = [mm] |\vec [/mm] ST| [mm] \cdot{} |\vec [/mm] RT|$ oder [mm] $A_R [/mm] = [mm] |\vec [/mm] QR| [mm] \cdot{} |\vec [/mm] QS|$ alles positiv, die Betragsstriche fallen weg
[mm] $A_R [/mm] = 3 [mm] \cdot{} \wurzel{5} [/mm] = 6,71 FE$
dies müsste doch stimmen, denn der Flächeninhalt des Dreiecks war genau die Hälfte, und wenn ich mir die Zeichnung eines rechtwinkligen Dreiecks anschaue, müssen eigentlich nur zwei Flächen gespiegelt werden und man erhält ein Rechteck, also doppelte Fläche.
2.6 Berechnen Sie den Umfang U des Rechtecks QRST.
Hierzu werden von den einzelnen Richtungsvektoren einer jeden Gerade, die Beträge gebildet und dann addiert.
[mm] $|\vec [/mm] ST| = 3$
[mm] $|\vec [/mm] RT| = [mm] \wurzel{5}$
[/mm]
und weil ja wieder gilt:
[mm] $\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{ST}$ [/mm] und
$ [mm] \overrightarrow{QS}=\overrightarrow{RT}$
[/mm]
ergibt sich für den Umfang:
[mm] $U_R [/mm] = [mm] |\vec [/mm] ST| + [mm] |\vec [/mm] RT| + [mm] |\vec [/mm] QR| + [mm] |\vec [/mm] QS|$
[mm] $U_R [/mm] = 10,47 FE$
Stimmt die Einheit FE, für was steht dies überhaupt?
2.7 Geben Sie den Schnittpunkt D der Diagonalen im Viereck QRST an.
Zum Schnittpunkt berechnen brauche ich die beiden Geradengleichungen [mm] $\vec [/mm] RS$ und [mm] $\vec [/mm] QT$. Die Geradengleichung von [mm] $\vec [/mm] RS$ hab ich schon:
$ [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] $
nun bestimme ich [mm] $\vec [/mm] QT$:
$ [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $
dies muss ich jetzt gleich setzen um zu schauen bei welchem [mm] \lambda, [/mm] die beiden Geraden einen Schnittpunkt D aufweisen.
$4 + [mm] \lambda [/mm] = 3 - [mm] 2\mu$
[/mm]
$-2 + [mm] 2\lambda [/mm] = 0 - [mm] 2\mu$
[/mm]
$6 - [mm] 3\lambda [/mm] = 4 - [mm] 2\mu$
[/mm]
dann bekomm ich für [mm] \lambda [/mm] = 3 und für [mm] \mu [/mm] = -2 raus, die ersten beiden zahlen des schnittpunkts sind D(7|4|x) und bei der dritten kommen zwei unterschiedliche Zahlen (-3 und 8) heraus. Wo liegt der Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Fr 16.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab nicht all deine Rechnungen nachvollzogen, die Rechenwege sind aber richtig.
Nur kannst du einiges leichter machen:
1.aus Dreieck RQS das Rechteck machen: zu S den Vektor [mm] \vec{QR} [/mm] addieren.
2. Flächeninhalt nicht neu ausrechnen, sondern 2*Fläche Dreieck! oder Falls ihr das hattet Vektorprodukt [mm] |\vec{QR}\times \vec{QS}|
[/mm]
3. Diagonalen schneiden sich in der Mitte. deshalb Schnittpunkt:
[mm] S+1/2*\vec{SR} [/mm] oder [mm] R+1/2\vec{RS} [/mm]
4. FE steht für Flächeneinheit, darfst du also nur schreiben, wenn du ne Fläche ausgerechnet hast. entsprechend steht LE für Längeneinheit! also umfang in LE angeben LE*LE=FE! (Das kommt daher, dass man ja nicht weiss, wie "lange! ein Vektor (1,0,0) ist. der kann 1cm ,1km, 1inch, 1Elle usw sein, deshalb allgemein 1LE)
Ich hoffe, damit ist alles klar.
Geradengl. braucht man bei dieser Aufgabe eigentlich nicht, nur Vektoren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 16.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo
> Ich hab nicht all deine Rechnungen nachvollzogen, die
> Rechenwege sind aber richtig.
> Nur kannst du einiges leichter machen:
> 1.aus Dreieck RQS das Rechteck machen: zu S den Vektor
> [mm]\vec{QR}[/mm] addieren.
$T = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}$
[/mm]
da wäre ich auch darauf gekommen, wenn ich bei der Geradengleichung [mm] $\lambda [/mm] = 1$ gesetzt hätte
> 3. Diagonalen schneiden sich in
> der Mitte. deshalb Schnittpunkt:
> [mm]S+1/2*\vec{SR}[/mm] oder [mm]R+1/2\vec{RS}[/mm]
$D = [mm] \begin{pmatrix} 4,5 \\ -1 \\ 4,5 \end{pmatrix}$
[/mm]
Aber wenn ich die beiden Geradengleichungen gleich setze, müsste ich doch auch den Schnittpunkt erhalten?
> Geradengl. braucht man bei dieser Aufgabe eigentlich
> nicht, nur Vektoren.
Dann hätte ich bei den Winkeln, nur die Richtungsvektoren bestimmen sollen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Fr 16.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eigentlich müssten sich natürlich auch die 2 Geraden schneiden. In deiner Gl für QT ist der Richtungsvektor falsch! Damit hast du 2 Geraden, die sich nicht schneiden erzeugt.
Und ja, für die Winkel brauchst du natürlich auch nur die Richtungsvektoren.
(Aber die Geraden sind ja auch nicht viel mehr Aufwand hinzuschreiben!)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Fr 16.11.2007 | | Autor: | itse |
> Eigentlich müssten sich natürlich auch die 2 Geraden
> schneiden. In deiner Gl für QT ist der Richtungsvektor
> falsch!
ja, das kommt daher. dass ich für T den Richtungsvektor hergenommen hab und nicht den Ortsvektor dazu addiert hab.
$ [mm] \vec [/mm] QT $:
$g(Q,T): [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
und dies nun gleich setzen:
1: $ 4 + [mm] \lambda [/mm] = 3 + [mm] 3\mu [/mm] $
2: $ -2 + [mm] 2\lambda [/mm] = - [mm] 2\mu [/mm] $
3: $ 6 - [mm] 3\lambda [/mm] = 4 + [mm] \mu [/mm] $
1: [mm] \lambda [/mm] = [mm] 3\mu-1 [/mm] in 3:
[mm] 6-3(3\mu-1)=4+\mu
[/mm]
[mm] 6-9\mu+3=4+\mu
[/mm]
[mm] 9-9\mu=4+\mu
[/mm]
[mm] 5=10\mu
[/mm]
[mm] 0,5=\mu [/mm] in 1:
[mm] 4+\lambda=3+3\cdot{}0,5
[/mm]
[mm] 4+\lambda=4,5
[/mm]
[mm] \lambda=0,5
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] in 3:
[mm] 6-3\cdot{}0,5=4+0,5
[/mm]
4,5 = 4,5, die Geraden schneiden sich, Berechnung Schnittpunkt D:
4+0,5=4,5
[mm] -2+2\cdot{}0,5=-1
[/mm]
[mm] 6-3\cdot{}0,5=4,5
[/mm]
[mm] 3+3\cdot{}0,5=4,5
[/mm]
[mm] -2\cdot{}0,5=-1
[/mm]
4+0,5=4,5
D = [mm] \begin{pmatrix} 4,5 \\ -1 \\ 4,5 \end{pmatrix}
[/mm]
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