Vektoren in einer Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 08.01.2006 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren
[mm] a=2e_{1}-3e_{2}+ e_{3}
[/mm]
[mm] b=[1;2;-3]^T
[/mm]
[mm] c=[-2;2;1]^T
[/mm]
Bestimmen Sie x so, dass die Vektoren
a, 2a+b+3c und [mm] d=[2;1;x]^T [/mm] in einer Ebene liegen. |
wie der Vektor a und d dargestellt wird ist klar, allerdings macht mir der Vektor 2a+b+3c zu schaffen.
habe bei diesem angenommen, das damit gemeint ist, das die erste Komponente des Vektors 2*die von a ist, und die 2. Komponente 1*die von von und die dritte Komponente des Vektors 3*die vom Vektor c.
Sodass ich dann auf einen Vektor für 2a+b+3c komme, der wie folgt aussieht: (nennen wir ihn f)
[mm] f=[0;0;3]^T
[/mm]
dann hat man also die Vektoren
[mm] a=[2;3;-1]^T
[/mm]
[mm] f=[0;0;3]^T
[/mm]
[mm] d=[2;1;x]^T
[/mm]
bei denen nachzuweisen ist, das sie in einer Ebene liegen.
soweit alles richtig??
dann rechne ich aus:
[mm] \vmat{ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & x }
[/mm]
wobei das x nun komplett rausfällt! (Regel von Sarrus)
heißt das, dass das x=0 ist ??
also lautet es dann
[mm] \vmat{ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 0 } [/mm]
-> Sarrus anwenden und man erhält -24
wenn aber a,f und d in einer Ebene liegen sollen, dann muss doch 0 rauskommen. (da Volumen von Spatprodukt =0 wenn alle Punkte in einer Ebene).
Wie erhalte ich das x? wenn nicht wie oben erläutert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 So 08.01.2006 | | Autor: | pisty |
mir ist da dein fehler unterlaufen .....
der umgewandelt vektor a muss natürlich lauten:
[mm] a=[2;-3;1]^T
[/mm]
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a=(2, -3, 1), b=(1, 2, -3), c=(-2, 2, 1) => 2a+b+c =(-1, 2, 2) =:f
(...lasse die transponierungen der einfachkeit halber weg )
bilde nun das kreuzprodukt von a und f, um den normalvektor n auf die gesuchte ebene zu erhalten => n=(-4, -5, 7)
nun muss der gegebene vektor (2, 1, x)=:g in der ebene liegen, und daher muss das skalarprodukt von g und n =0 sein, also:
-4*2+-5*1+7*x=0
also folgt: x=13/2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 08.01.2006 | | Autor: | pisty |
hast du dich da ein wenig vertan?
der "komische" Vektor heißt 2a+b+3c
wie kommt man allerdings auf den fertigen Vektor "f"?? wie setzt er sich zusammen?
lautet das Kreuzproduktaus a und f bei dem f was du genommen hast nicht auch n=[-8;-5;7] ?
so erhalte ich dann auch für x=-3
wie ist es nun richtig?
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Hallo pisty,
> hast du dich da ein wenig vertan?
>
> der "komische" Vektor heißt 2a+b+3c
>
> wie kommt man allerdings auf den fertigen Vektor "f"?? wie
> setzt er sich zusammen?
[mm]
f\; = \;2\;a\; + \;b\; + \;3\;c\; = 2\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
{ - 3} \\
1 \\
\end{array} } \right)\; + \,\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
2 \\
{ - 3} \\
\end{array} } \right)\; + \;3\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 2} \\
2 \\
1 \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \\
2 \\
2 \\
\end{array} } \right)[/mm]
>
> lautet das Kreuzproduktaus a und f bei dem f was du
> genommen hast nicht auch n=[-8;-5;7] ?
Ich erhalte für n:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
{ - 3} \\
1 \\
\end{array} } \right)\;x\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 1} \\
2 \\
2 \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{( - 3)\; \times \;2\; - \;1\; \times \;2} \\
{1\; \times \;( - 1)\; - \;2\; \times \;2} \\
{2\; \times \;2\; - \;\left( { - 3} \right)\; \times \;\left( { - 1} \right)} \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 8} \\
{ - 5} \\
1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
>
> so erhalte ich dann auch für x=-3
>
> wie ist es nun richtig?
Gruß
MathePower
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