Vektoren/Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A (2 | 4 | 0) und B(-5 | 8 | 0) sowie die Ebenen
E1 und E2 durch
[mm] E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vec{x} [/mm] = 72
[mm] E_2: \vektor{4 \\ 7 \\ 4 }*\vec{x} [/mm] = 72
a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A und B in der Ebene E1 liegen.
Begründen Sie, dass die Ebenen E1 und E2 parallel zueinander verlaufen.
Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen E1 und E2.
Die Ebene E3 ist parallel zur Ebene E1 und hat zu den Ebenen E1 und E2 den gleichen
Abstand. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E3.
b) Die Gerade g1 verläuft durch die Punkte A und B. Eine weitere Gerade g2 ist gegeben durch
[mm] g_2: \vec{x}= \vektor{4\\ 7 \\ -13 }*s( \vektor{-4\\ 4 \\ 3 }
[/mm]
Weisen Sie nach, dass g1 und g2 windschief zueinander verlaufen.
Ermitteln Sie den Abstand von g1 zu g2.
c) Begründen Sie, dass die Gerade g1 in einer Koordinatenebene liegt.
Leiten Sie eine Gleichung einer Geraden g3 her, die zu der Geraden g1 parallel verläuft und
von g1 einen Abstand von 5 LE hat.
Leiten Sie eine Gleichung einer Geraden g4 her, die zu der Geraden g1 windschief verläuft
und von g1 einen Abstand von 5 LE hat. |
Hey du, ich schreibe morgen Vorabi in Mathe und habe im Internet dazu eine Übungsaufgabe gefunden, die vom Niedersächsichen Kultusministerium erstellt wurde.
Aus diesem Anlass möchte ich siemit deiner Hilfe bewältigen, weil ich allein Probleme damit habe.
Meine Gedanken dazu:
a)
-Weisen Sie nach, dass die Punkte A und B in der Ebene E1 liegen:
Punkt A: [mm] E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vektor{2 \\ 4 \\ 0 } [/mm] = 72
Punkt B: [mm] E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vektor{-5 \\ 8 \\ 0 } [/mm] = 72
Somit liegen die Punkte A und B in [mm] E_1
[/mm]
-Begründen Sie, dass die Ebenen E1 und E2 parallel zueinander verlaufen.
Die Ebene E1 zbd E2 sind deshalb parallel, weil die Ortsvekotoren vielfache voneinander sind:
[mm] \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }/2=\vektor{4 \\ 7 \\ 4 } [/mm] bzw.
[mm] \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }=\vektor{4 \\ 7 \\ 4 }*2
[/mm]
-Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen E1 und E2:
Hier würde ich mit der Hesseschen Normalenform rechnen, um den Abstand der parallelen Ebenen zu erhalten:
Im Klartext: [mm] d=\bruch{1}{ \vmat{ n }}\cdot{} \vmat{ D_{2}-D_{1} } [/mm]
Wie erhalte ich den |n| ?
Ich weiß nicht, wie man das nun anwendet... Kannst du mir das bitte zeigen?
-Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E3.
Ohne die vorige Teilaufgabe zu lösen ist es mir nich möglich, diese Aufgabe zu rechnen.
Ich würde aber vermuten, dass der Ortsvektor in diesem Falle auch ein Vielfaches der ersten beiden Ebenen sein muss, ansonsten wäre sie nich parallel. (Beispiel: [mm] \vektor{12 \\21 \\ 12}
[/mm]
b)
-Weisen Sie nach, dass g1 und g2 windschief zueinander verlaufen
[mm] g_2 [/mm] ist ja gegeben, doch woher und wie erhalten ich [mm] g_1?
[/mm]
Mein Weg: Erst zeigen, dass die Geraden nicht parallel sind, indem ich die Richtungsvektoren heranziehe:
( [mm] \vektor{-4\\ 4 \\ 3 }*r= [/mm] Richtungsvektor von g1 (Wie erhalte ich die Geradengleichung von [mm] g_1?
[/mm]
Weil sie nicht parallel sind, können sie auch nich identisch sein!
Anschließend setze ich die Geraden gleich, um zu zeigen, dass die Geraden keinen Schnittpunkt haben.
Ich würde es gerne anhand der Zahlen zeigen, doch fehlt mir immer noch die Gleichung von [mm] g_1...
[/mm]
Nachdem ich diese gemacht habe, bleibt nur noch die Möglichkeit, dass die Geraden windschief zueinander sind!
-Ermitteln Sie den Abstand von g1 zu g2:
Hierbei würd ich den Punkt suchen,, an der [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] die kleinste Entfernung voneinander haben.
Ich würde mir einen Hilfsebene durch [mm] g_1 [/mm] schaffen...weiter weiß ich nicht :(
c)-dazu fällt mir nichts ein.
Ich habe eine Bitte. Ich habe meinen Ansatz beschrieben doch leider habe ich Probleme mit der Anwendung.
Ich weiß wie man es errechnet..
Es wäre echt super, wenn du mir den Weg anhand der Zahlen zeigen könntest!
Danke im voraus!!!!!
LG Ridvo
|
|
| |
|
> Meine Gedanken dazu:
>
> a)
> -Weisen Sie nach, dass die Punkte A und B in der Ebene E1
> liegen:
>
> Punkt A: [mm]E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vektor{2 \\ 4 \\ 0 }[/mm]
> = 72
> Punkt B: [mm]E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vektor{-5 \\ 8 \\ 0 }[/mm]
> = 72
>
> Somit liegen die Punkte A und B in [mm]E_1[/mm]
>
> -Begründen Sie, dass die Ebenen E1 und E2 parallel
> zueinander verlaufen.
> Die Ebene E1 zbd E2 sind deshalb parallel, weil die
> Ortsvekotoren vielfache voneinander sind:
>
> [mm]\vektor{8 \\ 14 \\ 8 }/2=\vektor{4 \\ 7 \\ 4 }[/mm] bzw.
> [mm]\vektor{8 \\ 14 \\ 8 }=\vektor{4 \\ 7 \\ 4 }*2[/mm]
>
> -Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen E1 und E2:
>
> Hier würde ich mit der Hesseschen Normalenform rechnen, um
> den Abstand der parallelen Ebenen zu erhalten:
>
> Im Klartext: [mm]d=\bruch{1}{ \vmat{ n }}\cdot{} \vmat{ D_{2}-D_{1} }[/mm]
>
> Wie erhalte ich den |n| ?
Wenn ich das richtig sehe, dann ist |n| die Länge des Vektors also [mm] \wurzel{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}
[/mm]
> -Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E3.
> Ohne die vorige Teilaufgabe zu lösen ist es mir nich
> möglich, diese Aufgabe zu rechnen.
> Ich würde aber vermuten, dass der Ortsvektor in diesem
> Falle auch ein Vielfaches der ersten beiden Ebenen sein
> muss, ansonsten wäre sie nich parallel. (Beispiel:
> [mm]\vektor{12 \\21 \\ 12}[/mm]
Da ist dein Ansatz schonmal richtig, allerdings muss auch das Ergebnis (hier: 72) dasselbe sein.
> b)
> -Weisen Sie nach, dass g1 und g2 windschief zueinander
> verlaufen
>
> [mm]g_2[/mm] ist ja gegeben, doch woher und wie erhalten ich [mm]g_1?[/mm]
[mm] g_{1} [/mm] ist durch die Punkte A und B gegeben, damit kannst du die Geradengleichung bestimmen.
> Mein Weg: Erst zeigen, dass die Geraden nicht parallel
> sind, indem ich die Richtungsvektoren heranziehe:
>
> ( [mm]\vektor{-4\\ 4 \\ 3 }*r=[/mm] Richtungsvektor von g1
> Weil sie nicht parallel sind, können sie auch nich
> identisch sein!
>
> Anschließend setze ich die Geraden gleich, um zu zeigen,
> dass die Geraden keinen Schnittpunkt haben.
>
> Nachdem ich diese gemacht habe, bleibt nur noch die
> Möglichkeit, dass die Geraden windschief zueinander sind!
>
> -Ermitteln Sie den Abstand von g1 zu g2:
>
> Hierbei würd ich den Punkt suchen,, an der [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] die
> kleinste Entfernung voneinander haben.
> Ich würde mir einen Hilfsebene durch [mm]g_1[/mm] schaffen...
Hilfsebene klingt schonmal nicht schlecht, wie genau man das macht, kann ich dir so ad hoc aber nicht sagen.
>
>
> c)-dazu fällt mir nichts ein.
Wenn zwei Punkte in einer der drei Koordinatenebenen liegen, muss bei beiden Punkten eine der drei Koordinaten=0 sein...
Hoffe ich konnte dir helfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
hey snp_Drake , danke für deine Mühe!!!
Hat jmd. eine genauere Erklärung, weil ich damit wenig anfangen kann..
Danke im voraus, RIdvo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
Hey, kann mir denn niemand helfen? :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Do 27.11.2008 | | Autor: | reverend |
Na, es ist schon ein ziemlicher Umfang. Das schreckt ab.
Aber da Du so dringend fragst, mach ich mich mal dran und melde mich wieder.
Wenn jemand vorher antworten will, ist das natürlich ok.
Ciao,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
Hey rev, danke dir!
Es ist mir sehr wichtig für meine morgige Klausur!!
Dankeeeeeeee dir TAUSEND MAL!!
|
|
|
| |
|
> Meine Gedanken dazu:
>
> a)
> Punkt A: [mm]E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vektor{2 \\ 4 \\ 0 }[/mm]
> = 72
> Punkt B: [mm]E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8 }*\vektor{-5 \\ 8 \\ 0 }[/mm]
> = 72
>
> Somit liegen die Punkte A und B in [mm]E_1[/mm]
Richtig gelöst!
> -Begründen Sie, dass die Ebenen E1 und E2 parallel
> zueinander verlaufen.
> Die Ebene E1 zbd E2 sind deshalb parallel, weil die
> Ortsvekotoren vielfache voneinander sind:
Nicht die Ortsvektoren, sondern die Normalenvektoren!
Außerdem schadet es nichts, zu zeigen, dass die Ebenen nicht identisch sind. Dazu (wie auch zum folgenden) ist es praktisch, beide Ebenendarstellung in die Hessesche Normalform zu bringen.
[mm] E_1: \vektor{8 \\ 14 \\ 8}*\vec{x}=72 \Rightarrow \vektor{4/9 \\ 7/9 \\ 4/9}*\vec{x}=4
[/mm]
[mm] E_2: \vektor{4 \\ 7 \\ 4}*\vec{x}=72 \Rightarrow \vektor{4/9 \\ 7/9 \\ 4/9}*\vec{x}=8
[/mm]
> -Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen E1 und E2:
>
> Hier würde ich mit der Hesseschen Normalenform rechnen, um
> den Abstand der parallelen Ebenen zu erhalten:
Genau. Siehe oben.
Der Abstand ist dann 8-4=4.
> Wie erhalte ich den |n| ?
> Ich weiß nicht, wie man das nun anwendet... Kannst du mir
> das bitte zeigen?
Der Betrag von n ist so definiert, wie snp_Drake es schon angegeben hat:
[mm] n=\wurzel{n_1^2+n_2^2+n_3^2}
[/mm]
Du bringst die Normalenvektoren also auf die Länge 1, musst dabei aber das absolute Glied mit umrechnen. Dort steht dann zugleich der Abstand zum Nullpunkt (das ist eine oft nützliche Information).
> -Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E3.
> Ohne die vorige Teilaufgabe zu lösen ist es mir nich
> möglich, diese Aufgabe zu rechnen.
> Ich würde aber vermuten, dass der Ortsvektor in diesem
> Falle auch ein Vielfaches der ersten beiden Ebenen sein
> muss, ansonsten wäre sie nich parallel.
Nein. Der Normalenvektor muss kollinear sein, am einfachsten aber eben gleich dem Normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2. [/mm] Dann genügt es nämlich, den Abstand zum Nullpunkt mittig zu dem der beiden gegebenen Ebenen zu wählen:
[mm] E_3: \vektor{4/9 \\ 7/9 \\ 4/9}*\vec{x}=6
[/mm]
Falls Du ein anderes Ergebnis hast, musst Du überprüfen, ob Deine und meine Ebene identisch sind. Es gibt für die gleiche Ebene unendlich viele Darstellungen! Genau deswegen empfiehlt sich die eindeutige Hessesche Normalform.
> b)
> -Weisen Sie nach, dass g1 und g2 windschief zueinander
> verlaufen
>
> [mm]g_2[/mm] ist ja gegeben, doch woher und wie erhalten ich [mm]g_1?[/mm]
Na, aus den beiden Punkten A und B. Nimm einen davon als Aufpunkt, und ihre Differenz als Richtungsvektor:
[mm] g_1: \vec{x}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0}+t*\vektor{7 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Auch hier ist das Normieren des Richtungsvektors meistens praktisch:
[mm] g_1: \vec{x}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0}+\hat{t}*\bruch{\wurzel{65}}{65}\vektor{7 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
> Mein Weg: Erst zeigen, dass die Geraden nicht parallel
> sind, indem ich die Richtungsvektoren heranziehe:
>
> ( [mm]\vektor{-4\\ 4 \\ 3 }*r=[/mm] Richtungsvektor von g1 (Wie
> erhalte ich die Geradengleichung von [mm]g_1?[/mm]
Siehe oben.
Wenn die Vektoren nicht parallel sind, darf es keine Lösung für [mm] \vec{n_{g_1}}=a*\vec{n_{g_2}} [/mm] geben.
> Anschließend setze ich die Geraden gleich, um zu zeigen,
> dass die Geraden keinen Schnittpunkt haben.
Genau. Das gelingt auch leicht.
> Nachdem ich diese gemacht habe, bleibt nur noch die
> Möglichkeit, dass die Geraden windschief zueinander sind!
So ist es.
> -Ermitteln Sie den Abstand von g1 zu g2:
>
> Hierbei würd ich den Punkt suchen,, an der [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] die
> kleinste Entfernung voneinander haben.
> Ich würde mir einen Hilfsebene durch [mm]g_1[/mm] schaffen...weiter
> weiß ich nicht :(
Das geht. Du definierst eine Ebene mit einem Aufpunkt, der auf [mm] g_1 [/mm] liegt, und den beiden Richtungsvektoren von [mm] g_1, g_2. [/mm] Diese Ebene bringst Du in die Hessesche Normalform. Jeder Punkt auf [mm] g_2 [/mm] gibt Dir dann den gleichen "Fehler", nämlich den Abstand von [mm] g_1.
[/mm]
Eine andere Lösung wäre räumlich zu überlegen. An der Stelle, an der die kürzeste Entfernung zwischen [mm] g_1, g_2 [/mm] besteht, steht die Verbindungslinie auf beiden senkrecht. Du kannst also mit dem Kreuzprodukt [mm] n_{g_1}\times n_{g_2} [/mm] die Richtung dieser Linie bestimmen. Dann kannst Du auch leicht eine Gleichung für die Verbindungslinie bzw. den Vektor zwischen den beiden Verbindungspunkten finden. Der andere Ansatz - also der, den Du vorhattest - ist aber leichter durchzuführen, siehe den obigen Absatz.
> c)-dazu fällt mir nichts ein.
Mir schon...
Das schreibe ich gleich. Dann kannst Du schonmal auf a) und b) herumkauen.
|
|
|
| |
|
Die Aufgabe c) hat ja eigentlich drei Teile.
I) [mm] g_1 [/mm] in einer Koordinatenebene:
$ [mm] g_1: \vec{x}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0}+t\cdot{}\vektor{7 \\ 4 \\ 0} [/mm] $
Keine z-Komponente (bzw. [mm] x_3) \Rightarrow g_1 [/mm] liegt in der x,y-Ebene bzw. [mm] x_1,x_2-Ebene.
[/mm]
II) [mm] g_3: [/mm] parallel zu [mm] g_1, [/mm] Entfernung 5LE.
Du brauchst also eine Gerade mit gleichem Richtungsvektor, aber anderem Aufpunkt. Da gibt es beliebig viele. Am einfachsten ist es, einen neuen Aufpunkt so zu bestimmen, dass er von (2,4,0) genau 5LE entfernt ist und die Strecke zwischen den beiden Aufpunkten von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_3 [/mm] senkrecht auf dem (gemeinsamen) Richtungsvektor steht.
Schon aus der Anschauung ist klar, dass es unendlich viele solche Geraden gibt, die alle auf der Oberfläche eines unendlichen Zylinders liegen, der mit dem Radius 5LE um [mm] g_1 [/mm] liegt. Das ist allgemein zu lösen, aber hier gar nicht nötig. Gefordert ist ja nicht mehr als eine Gerade!
Da Du schon weißt, dass [mm] g_1 [/mm] in einer Koordinatenebene liegt, kannst Du es Dir einfach machen und [mm] g_3 [/mm] in der gleichen Ebene bestimmen. Das reduziert es auf zwei Dimensionen. Dennoch würde ich in der Notation bei drei Dimensionen bleiben.
[mm] g_1: \vec{x}=\vektor{2 \\ 4 \\ 0}+\hat{t}\cdot{}\bruch{\wurzel{65}}{65}\vektor{7 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Ansatz:
[mm] g_3: \vec{x}=\vektor{a \\ b \\ 0}+\hat{t}\cdot{}\bruch{\wurzel{65}}{65}\vektor{7 \\ 4 \\ 0} [/mm]
sowie [mm] \vektor{a \\ b \\ 0}*\vektor{7 \\ 4 \\ 0}=0 [/mm] (Strecke zwischen Aufpunkten senkrecht zur Richtung)
sowie [mm] \wurzel{(a-2)^2+(b-4)^2}=5 [/mm] (Abstand)
Das ergibt zwei Gleichungen, durch Einsetzung dann eine quadratische Gleichung und zwei Lösungen (die beide existieren, wie aus der Anschauung zu erwarten war).
III) [mm] g_4: [/mm] windschief zu [mm] g_1 [/mm] in einer Entfernung von 5LE
Das kann nicht so schwer sein. Es gibt ja sozusagen noch mehr solche Geraden als bei der Aufgabe mit [mm] g_3. [/mm] Vor allem aber ist eine Lösung hier ganz leicht zu finden, wenn ein [mm] g_3 [/mm] gefunden ist.
Nimm den Aufpunkt von [mm] g_3 [/mm] (der ist ja genau 5LE entfernt von [mm] g_1) [/mm] und einen Richtungsvektor, der zum Richtungsvektor von [mm] g_1 [/mm] und zur Verbindungsstrecke zwischen den Aufpunkten von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_3 [/mm] senkrecht steht. Die Vektoren liegen aus den vorhergehenden Rechnungen vor, Du brauchst nur noch ihr Kreuzprodukt(Vektorprodukt) zu bilden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Do 27.11.2008 | | Autor: | Ridvo |
Hey rev, deine Antwort war mir enorm wichtig!!!
Ich weiß deine Arbeit echt zu schätzen und bedanke mich unendliche male!!!
Werde mir das ausdrucken und im bett lesen, bin nämlich sehr müde hab den gesamten tag über nur gelernt!
LG, Ridvo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Fr 28.11.2008 | | Autor: | reverend |
Na dann gute Nacht!
Ein Tipp auf der Grundlage der m.W. aktuellen Hirnforschung: besser früher lernen und mehr schlafen, als noch lange die letzten Wiederholungen pauken. Dein Kopf braucht Pause, um Sachen zu verarbeiten und abrufbereit zu speichern.
Viel Erfolg, morgen und auch sonst!
|
|
|
|
