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| Aufgabe | Man stelle fest, welche der nachfolgend angegebenen Abbildungen [mm] f:\IR^3 \to \IR^2 \IR [/mm] - linear sind, und man stelle jeweils
(i) die Bilder der Standarbasis-Vektoren des Raums [mm] \IR^3
[/mm]
(ii) die Bilder der Vektoren (1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)
als Linearkombinationen der Standardbasis-Vektoren des Raums [mm] \IR^2 [/mm] dar:
(a) f : (a,b,c) [mm] \mapsto [/mm] (a + b - c, 2a + b)
(b) f : (a,b,c) [mm] \mapsto [/mm] (a + 1, a + 2b - c)
(c) f : (a,b,c) [mm] \mapsto [/mm] ( [mm] \vmat{a}, [/mm] 0)
(d) f : (a,b,c) [mm] \mapsto [/mm] (0, a + 2b)
Welche der Abbildungen sind Vekotrraum-Epimorphismen. |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Meine bisherigen Ansätze:
(i) und (ii)
Die Standardbasisvektoren des Raums [mm] \IR^3 [/mm] lauten: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Beispiel (1,0,0):
Muss ich denn diese Werte für a, b, c einsetzten, also
(a) => f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 0 - 0, 2*1 + 0) = (1,2)
(b) => f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1, 1 + 2*0 - 0) = (2,1)
(c) => f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] ( [mm] \vmat{1}, [/mm] 0) = (1,0)
(d) => f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (0, 1 + 2*0) = (0,1)
Und das ganze für die anderen Vektoren genauso, also auch so in (ii)???
Was bedeutet [mm] \IR [/mm] - linear??? Und was sind Vektorraum-Epimorphismen???
Kann mir da jemand helfen???
Dankeschön.
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Ich denke mir das ganze also (i) und (ii) so:
(a)
f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 0 - 0, 2*1 + 0) = (1,2)
f : (0,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (0 + 1 - 0, 2*0 + 1) = (1,1)
f : (0,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (0 + 0 - 1, 2*0 + 0) = (-1,0)
f : (1,1,1) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1 - 1, 2*1 + 1) = (1,3)
f : (1,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1 - 0, 2*1 + 1) = (2,3)
f : (1,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 0 - 1, 2*1 + 0) = (0,2)
(b)
f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1, 1 + 2*0 - 0) = (2,0)
f : (0,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (0 + 1, 0 + 2*1 - 0) = (1,2)
f : (0,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (0 + 1, 0 + 2*0 - 1) = (1,-1)
f : (1,1,1) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1, 1 + 2*1 - 1) = (2,2)
f : (1,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1, 1 + 2*1 - 0) = (2,3)
f : (1,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (1 + 1, 1 + 2*0 - 1) = (2,0)
(c)
f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (1,0)
f : (0,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (0,0)
f : (0,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (0,0)
f : (1,1,1) [mm] \mapsto [/mm] (1,0)
f : (1,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (1,0)
f : (1,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (1,0)
(d)
f : (1,0,0) [mm] \mapsto [/mm] (0, 1 + 2*0) = (0,1)
f : (0,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (0, 0 + 2*1) = (0,2)
f : (0,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (0, 0 + 2*0) = (0,0)
f : (1,1,1) [mm] \mapsto [/mm] (0, 1 + 2*1) = (0,3)
f : (1,1,0) [mm] \mapsto [/mm] (0, 1 + 2*1) = (0,3)
f : (1,0,1) [mm] \mapsto [/mm] (0, 1 + 2*0) = (0,1)
So, ich denke das sollte so korekt sein.
Kann mir nun jemand erklären, was [mm] \IR [/mm] - linear ist und wie ich dieses nun als Linearkombination der Standardbasis-Vektoren des Raums [mm] \IR^2 [/mm] schreiben kann.
Ich kann doch zum Beispiel nicht
a*(1,0) + b*(0,1) = 0
ohne a = b = 0 zu setzen, lösen?
Also, wie soll das ganze gehen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> So, ich denke das sollte so korekt sein.
Ich habe nicht alles durchgeschaut, aber bei der ersten Abbildung hast du das auf jeden Fall richtig gemacht.
> Kann mir nun jemand erklären, was [mm]\IR[/mm] - linear ist
Nichts anderes als linear, wobei der Faktor für die skalare Multiplikation ein Element der reellen Zahlen ist.
Zeige:
$f(x+y)=f(x)+f(y) [mm] \, \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^3$
[/mm]
und [mm] $f(\lambda x)=\lambda [/mm] f(x) [mm] \, \forall [/mm] x [mm] \in \IR^3, \, \forall \lambda \in \IR$.
[/mm]
> und wie
> ich dieses nun als Linearkombination der
> Standardbasis-Vektoren des Raums [mm]\IR^2[/mm] schreiben kann.
Naja,
[mm] $\pmat{1 \\ 2}=1 \cdot \pmat{1 \\ 0} [/mm] +2 [mm] \cdot \pmat{0 \\ 1}$.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Viele Grüße
Astrid
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Es ist ja schon mal schon zu hören, dass man auch selbst mal etwas richtig gemacht hat.
Deine Ausführungen zum Thema LINEAR habe ich nicht ganz verstanden. Könntest du mir vielleicht dort ein Beispiel angeben?
Dafür wäre ich dir sehr dankbar.
Dankeschön.
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Hallo!
Zum Beispiel ist dein f in Aufgabe a) linear. Um die Linearität zu überprüfen nimmst du dir in diesem Fall zwei Elemente aus [mm] \IR^3 [/mm] und eines aus [mm] \IR [/mm] und rechnest es nach wie folgt.
Seien (a,b,c),(a',b',c') [mm] \in \IR^3, [/mm] sei k [mm] \in \IR. [/mm] Dann gilt:
f(a,b,c)+f(a',b',c')=(a+b-c,2a+b)+(a'+b'-c',2a'+b)=(a+b-c+a'+b'-c',2a+b+2a'+b')
=(a+a'+b+b'-(c+c'),2(a+a')+b+b')=f(a+a',b+b',c+c')=f((a,b,c)+(a',b',c'))
f(k*(a,b,c))=f(ka,kb,kc)=(ka+kb-kc,2ka+kb)=k*(a+b-c,2a+b)=k*f(a,b,c)
Und damit bist du fertig, da du f(k*(a,b,c))=k*f(a,b,c) und f(a,b,c)+f(a',b'.c')=f((a,b,c)+a',b',c')), also linearität gezeigt hast.
Hoffe, dieses Beispiel hilft dir auch für die anderen Aufgaben,
Gruß, San
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Hallo, vielen Dank für deine Antwort.
Ich wollte mich nur noch mal zur Kontrolle kurz melden. Ich versuche das ganze mal für (b) zu zeigen.
Diese sind nicht linear, hoffe ich!
f(a, b, c) + f(a', b', c') = (a + 1, a + 2b - c) + (a' + 1, a' + 2b' + c') = (a + 1 + a' + 1, a + 2b - c +a' + 2b' -c') = (a + a' + 2, a + a' + 2b + 2b' - (c + c') = f(a + a', b + b' + c + c')= f((a, b, c) + (a', b', c'))
f(k * (a, b, c)) = f(ka, kb, kc) = (ka + 1, ka + 2kb - kc) = (ka + 1, ka + 2kb - kc)
Das zweite kann ich nun nicht weiter vereinfachen bzw. umformen, somit ist (b) nicht linear. Oder sehe ich das irgendetwas falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 22.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Guten Morgen,
> f(a, b, c) + f(a', b', c') = (a + 1, a + 2b - c) + (a' + 1,
> a' + 2b' + c') = (a + 1 + a' + 1, a + 2b - c +a' + 2b'
> -c') = (a + a' + 2, a + a' + 2b + 2b' - (c + c') = f(a +
> a', b + b' + c + c')= f((a, b, c) + (a', b', c'))
>
> f(k * (a, b, c)) = f(ka, kb, kc) = (ka + 1, ka + 2kb - kc)
> = (ka + 1, ka + 2kb - kc)
>
> Das zweite kann ich nun nicht weiter vereinfachen bzw.
> umformen, somit ist (b) nicht linear.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Astrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 22.01.2006 | | Autor: | toppy |
Hallo, falls es dir weiterhilft:
(a) [mm] \IR [/mm] - linear
(b) nicht [mm] \IR [/mm] - linear
(c) nicht [mm] \IR [/mm] - linear
(d) [mm] \IR [/mm] - linear
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 So 22.01.2006 | | Autor: | toppy |
Das ist ja soweit klar (siehe meinen Beitrag), aber die letzte Frage
Welche der Abbildungen sind Vektorraum-Epimorphismen?
beschäftigt mich, kann mir da vielleicht jemand eine Antwort schicken?
Ich habe keine Ahnung, ich muss ja eigentlich nur die Surjektivität zeigen, aber da bin ich echt überfragt.
Bitte helft mir und haeufungspunkt_epsilon.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 22.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
schön, dass du dich einbringst, aber ich denke nicht, dass c) linear ist, denn betrachte mal die Summe des ersten Einheitsvektors mit seinem Negativen...
(denRest habe ich nicht kontrolliert)
um Surjektivität zu zeigen musst du dir ein beliebiges Element v aus [mm] $\IR^2$ [/mm] nehmen und einen entsprechenden Vektor w aus [mm] $\IR^3$ [/mm] basteln, so dass f(w)=v
wenn eine Komponente im Bild immer 0 ist, dann wähle bei v doch mal diese Komponente als Nicht-Null .
Kann es dann ein solches w geben?
wenn es nicht so einfach per Gegenbeispiel geht, musst du wohl es tatsächlich angeben - machen wir die a)
Wir suchen ein möglichen Urbildvektor zu [mm] $\vektor{v_1\\v_2}$ [/mm] , dann wähle doch mal a=0 und [mm] b=v_2 [/mm] - wie muss dann c zu wählen sein, damit [mm] $f(\vektor{a\\b\\c}=\vektor{v_1\\v_2}$ [/mm] ?!?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 23.01.2006 | | Autor: | toppy |
Hallo,
also die Sache mit der Surjektivität für (c) und (d) ist natürlich klar und logisch, diese sind durch Angabe eines Gegenbeispiels nicht surjektiv.
Allerdigs verstehe ich nicht, wie ich die Surjektivität von (a) und (b) beweisen kann.
Kanns du das vielleicht noch ein bisschen konkreter machen, oder noch mehr Tipps geben? Das muss heute abend noch fertig sein. Dankeschön
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mo 23.01.2006 | | Autor: | toppy |
Also, nach deinen Ausführungen soll gelten:
f(a, b, c) [mm] \mapsto [/mm] (v1, v2)
a = 0, b = v2
(a + b - c, 2a + b) [mm] \mapsto [/mm] (v1, v2)
(0 + v2 - c, 2*0 + v2) [mm] \mapsto [/mm] (v1, v2)
(v2 - c, v2) [mm] \mapsto [/mm] (v1, v2)
Und nun???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> (v2 - c, v2) $ [mm] \mapsto [/mm] $ (v1, v2)
>
> Und nun???
nun muss man also [mm] $c=v_2-v_1$ [/mm] wählen, dann gilt:
[mm] $f(\vektor{0\\v_2\\v_2-v_1})=\vektor{v_1\\v_2}$
[/mm]
für beliebige [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] , also findet man zu jedem Bildvektor einen Urbildvektor, also ist die Abbildung surjektiv...
Übrigens : wenn du auf die Formeln clickst, siehst du, dass die schreibweise wirklich einfach ist und wenn du jemals eine mathematische Arbeit schreiben willst, ist dies auch für später sehr hilfreich (Stichwort:LaTeX)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 23.01.2006 | | Autor: | toppy |
Hallo,
vielen Dank.
Was soll mir das das Stichwort [LaTeX] sagen, ich benutze privat bereits LaTeX.
Wie sieht das ganze denn nun für b aus?
Ich komme da auch nicht auf eine gute Lösung. Könntest du mir da helfen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 23.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Was soll mir das das Stichwort [LaTeX] sagen, ich benutze
> privat bereits LaTeX.
oh, dann entschuldige vielmals - ich hatte das Gefühl, dass du nur die nötigsten Befehle hier verwendest.
Wenn du schon LaTeX-Syntax kennst, dann sollte es ja keine Probleme machen sie hier zu verwenden und um einfache Indizies muss man noch nicht mal das Dollar-Zeichen setzen...
(Und es sieht viiiieeel schöner aus mit dem Formelsatz hier als ohne)
> Wie sieht das ganze denn nun für b aus?
> Ich komme da auch nicht auf eine gute Lösung. Könntest du
> mir da helfen???
Genau wie bei der a)
für [mm] $\vektor{v_1\\v_2}$ [/mm] wähle b=0 , [mm] a=v_1-1 [/mm] und c entsprechend der zweiten Komponente..
viele Grüße
DaMenge
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