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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Welche Vektoren a = [mm] \alpha_{1}e_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2}e_{2} [/mm] + [mm] \alpha_{3}e_{3} [/mm] erfüllen die Bedingungen |a| = 20, [mm] <(e_{1};a) [/mm] = [mm] <(e_{2};a) [/mm] = 60°?
Lösung: [mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{2} [/mm] = 10, [mm] \alpha_{3} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{200}
[/mm]
Gibt es da eine bestimmte Regel/Rezept wie man vorgeht?
LG Sue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mo 07.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
naja : man kann das Skalar-Produkt auf zwei Weisen berechnen:
seinen $ [mm] v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] $ und $ [mm] w=\vektor{w_1\\w_2\\w_3} [/mm] $
dann ist $ [mm] =v_1 *w_1 [/mm] + [mm] v_2 *w_2 +v_3 *w_3 [/mm] $
und $ <v,w> =|v|*|w|*cos(x) $ wobei x der eingeschlossene Winkel zwischen v und w ist.
wenn du dir jetzt $ [mm]
und nach der zweiten Formel erhälst du : $ [mm]
also, weil beide ergebnisse ja gleich sein müssen: $ [mm] \alpha_1=10 [/mm] $
analog für $ [mm] \alpha_2 [/mm] =10 $
für den wert von $ [mm] \alpha_3 [/mm] $ musst du jetzt die Formel des Betrages von a nach $ [mm] \alpha_3 [/mm] $ umformen, wobei du jetzt |a| und [mm] $\alpha_1 ,\alpha_2 [/mm] $ schon kennst.
du musst also nur immer schauen, was du gegeben hast und wonach du umformen musst...
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Danke!
Eine weitere Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme und die so ähnlich ist wie die erste, ist die:
Vorgegeben seien die Vektoren a = [mm] e_{1} [/mm] - [mm] 2e_{2} [/mm] + [mm] 3e_{3} [/mm] und b = [mm] 2e_{1} [/mm] + [mm] 3e_{2} [/mm] + [mm] e_{3},
[/mm]
also: [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3}, \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Man ermittle zwei Vektoren x und y, für die gilt: x||y, y [mm] \perp [/mm] b und x + y = a.
Lösung:
x = -1/14 (2,3,1), y = 1/14 (16,-25,43)
Beide Vektoren sind doch orthogonal, wenn das Skalarprodukt 0 ist, aber wie gehe ich hier vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Hexe |
Du setzt an was du weisst und rechnest:
x||y -> x=k*y also [mm] x_i=k*y_i [/mm] für i=1,2,3;
[mm] y\perp [/mm] b also (genau wie du meinst) y*b=0 also [mm] 2y_1+3y_2+y_3=0 [/mm] und
x+y=a also k*y+y=a
wie gesagt damit musst du jetzt halt rumrechnen
Ö moment bist du sichwer das deine Lösung stimmt? Bei mir heisst a||b dass die beiden lin abhg. also x=k*y ist und das wäre in dem Fall nicht der Fall.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Ja, die Lösung war unter der Aufgabe angegeben.
Bedeutet x||b nicht, dass x und b parallel zueinander sind?
Und auch wenn ich x in der Lösung mit b vergleiche, haben beide denselben Inhalt in der "Klammer", aber wie wird das gerechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 07.02.2005 | | Autor: | laucky |
Hallo!
Zum Verständnis: Vektoren kann man beliebig umeinanderverschieben, also verschieben wir sie mal lustig auf den Nullpunkt.
Wenn nun ein Vektor x parallel zu b liegt, dann muss er in die Selbe Richtung zeigen, oder genau die umgekehrte. Die Länge ist aber egal, er kann länger sein oder kürzer. Kurz: Für x muss es eine Zahl geben, mit der multipliziert der Vektor b rauskommt, also
x=c*b
Wobei c [mm] \in \IR \backslash \{0\}.
[/mm]
Demnach ist es nicht verwunderlich, dass in der Lösung das x dem b sehr ähnlich sieht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Mo 07.02.2005 | | Autor: | laucky |
Hallo!
x || y bedeutet, dass sie parallel sind, also ist der Winkel zwischen den beiden Null, also ist ||x (kreuz) y|| = |x|*|y|*sin(0°) =0, bzw. x (kreuz) y = (Nullvektor).
Oder: x=c*y, wobei c [mm] \in \IR [/mm] beliebig.
Damit erhälst du drei Gleichungen. Bzw. eine, die ist besser.
Dann ist y [mm] \perp [/mm] b , d.h. <y,b>=|y|*|b|*cos(90°)=0.
Noch ne Gleichung.
Dann kommt noch x+y=a. Wieder drei Gleichungen.
Wir haben sieben Gleichungen, sechs Unbekannte (oops). Also lässt sich eine eindeutige Lösung vermuten.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Oh, sorry, ich hab mich verschrieben!
Das heißt nicht x||y, sondern x||b.
Was kommt dann heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mo 07.02.2005 | | Autor: | laucky |
Hallo!
Wenn x [mm] \parallel [/mm] b => x=c*b mit c irgendeine Zahl aus [mm] \IR
[/mm]
Oder:
Bei x [mm] \parallel [/mm] b musst du eben x (kreuz) b = Nullvektor rechnen
x (kreuz) b in der ersten Komponente ist:
[mm] x_2 [/mm] * [mm] b_3 [/mm] - [mm] x_3*b_2
[/mm]
die zweite Komponente:
[mm] -(x_1*b_3-x_3*b_1)
[/mm]
die dritte:
[mm] x_1*b_2-x_2*b_1
[/mm]
Und die Gleichungen müssen alle gleich Null sein.
Rest wie vorher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Vielen Dank für die schnelle Beantwortung meiner Fragen!
MfG Sue
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Di 08.02.2005 | | Autor: | laucky |
Bitte :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Hexe |
gerne sorry das ich 2 Tage off war sonst hätt ich das Problem gleich bei deiner Antwort gesehen
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