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Vektoraufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mi 14.05.2003
Autor: Lea

Hallo Stefan,


ok, hier ist die Aufgabe mir den (hoffentlich richtigen) Lösungen:

Aufgabe
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(2|1|-3)$, $B(0|3|1)$, $C(4|-2|0)$, $D(6|-4|-4)$ und $P(11|8|-2)$ sowie die Gerade

$g : [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vektor{0\\3\\1} [/mm] + t * [mm] \vektor{26\\ 5\\ -7\\}$. [/mm]

a) Zeigen Sie: Die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ liegen in einer Ebene $E$. Geben Sie eine Gleichung der Ebene $E$ an. Die vier Punkte bilden also ein Viereck $ABCD$. Untersuchen Sie jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr ist:

- $ABCD$ ist ein Trapez.
- $ABCD$ ist ein Parallelogramm.
- $ABCD$ ist ein Rechteck.

Die Punkte $A$ und $P$ bestimmen eine Gerade $h$. Weisen Sie nach, dass die Gerade $h$ senkrecht zur Ebene $E$ verlaeuft.

b) Es gibt Punkte $Q$, $R$ und $S$, so dass der Körper $ABCDPQRS$ ein gerades Prisma ist. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $Q$, $R$ und $S$. Das Prisma $ABCDPQRS$ wird von der Geraden $g$ durchstossen. Weisen Sie nach, dass die Körperkante $SP$ von der Geraden $g$ geschnitten wird, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes.


zu a)
Also die Ebene ist E:x=(2/1/-3)+s(-2/2/4)+t(2/-3/3)
Die Normalenform ist 9x+7y+z=22

A, B, C und D liegen in E da:

1. E aus A, B unc C erstellt ist und
2. da gilt:

D in E:
9*(6)+7*(-4)-4=22
22=22 wahre Aussage, D€E

AB=(-2/2/4)    =>|AB|=w[24]
BC=(4/-5/-1)   =>|BC|=w[42]
CD=(2/-2/-4)   =>|CD|=w[24]
DA=(-4/5/1)    =>|DA|=w[42]

ABDC ist kein Trapez da gilt:
|AB|=|CD| und |BC|=|DA|

oder würde es reichen wenn ich sage das man an den Differenzvektoren sieht dass die jeweils "gegenüber liegenden" Seiten des Vierecks gleichlang sind, da die Differenzvektoren jeweils die Umkehrvektoren von den gegenüberligenden sind (versteht man das überhaupt noch???? ;-))

ABCD ist kein Rechteck da:
AB*(-BC)=22
in eine Rechteck müssten ja alle Winkel 90° haben.


Tja, also h:x=(2/1/-3)+s(9/7/1)

Der Richtungsvektor der Geraden ist gleich dem Normalenvektor der Ebene. Heißt senkrecht dass die Gerade die Ebene im Winkel von 90° schneidet? Wenn ja wäre das ja damit bewiesen.

b)
AP=(9/7/1)
Q=b+AP=(0/3/1)+(9/7/1)=(9/10/2)
R=c+AP=(4/-2/0)+(9/7/1)=(13/5/1)
S=d+AP=(6/-4/-4)+(9/7/1)=(15/3/-3)

(Welche Buchstaben muss ich hier groß, und welche klein schreiben?, Ich hab in der letzten Arbeit soviele Formfehler gemacht und will dass übermorgen möglichst vermeiden)

Bei der letzten Aufgabe hab ich die Gerade durch S und P aufgestellt:

k:x=(15/3/-3)+l(-4/5/1)

k=g

15-4l=26t
3+5l=3+5t
-3+l=1-7t     /*5

2+3
3+5l=3+5l
-15+5l=5-35t
t=0,5


(Eigentlich sieht man doch schon an der 2. Gleichung das t=l ist und da ich die Information habe dass sich die Geraden schneiden, müsste ich doch eigentlich nicht mehr weiterrechnen und könnte t gleich in g einsetzen, oder? Falls nicht:)
3+5l=3+2,5
l=0,5

l und t in 1

15-2=13
13=13  W.A  => die Geraden schneiden sich

l in k:

[mm] x_s=(15/3/-3)+0,5(-4/5/1) [/mm]

S(13/5,5/-2,5)


Bitte sag dass das richtig ist. Ich hab nämlich irgendwie das Gefühl je näher die Arbeit kommt, desto weniger kann ich :-((((


Viele Grüße und vielen Dank für all deine Hilfe,
Lea

        
Bezug
Vektoraufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Mi 14.05.2003
Autor: Stefan

Liebe Lea,

erst einmal vielen Dank, dass du die neue Aufgabe hier hereingestellt hast. Es war zwar nett, die Abi-Vorbereitung "undercover" zu machen, aber so -in einem kostenlosen und allen zugänglichen Forum- ist es wohl doch besser als per Mail, denn dann haben auch andere Schüler etwas davon! Außerdem kommt so mal was Leben in unser neues Forum. (Ich hoffe übrigens, dass hier demnächst mehr los ist, wenn ich beginne Werbung zu machen, im Moment habe ich dafür leider keine Zeit.) Vielleicht kannst du ja ein paar Freunden oder Freundinnen davon berichten, die vielleicht in einem oder zwei Jahren ihr Abi machen. Dieses Forum und die Aufgabensammlung werden auch in Zukunft keinen Cent kosten!!

> oder würde es reichen wenn ich sage das man an den
> Differenzvektoren sieht dass die jeweils "gegenüber liegenden"
> Seiten des Vierecks gleichlang sind, da die Differenzvektoren
> jeweils die Umkehrvektoren von den gegenüberligenden sind
> (versteht man das überhaupt noch???? ;-))

Wenn du statt von "Umkehrvektoren" von "Gegenvektoren" redest, ist das absolut in Ordnung so!

Der Rest von a) ist absolut perfekt!! :-)


> b)
> AP=(9/7/1)
> Q=b+AP=(0/3/1)+(9/7/1)=(9/10/2)
> R=c+AP=(4/-2/0)+(9/7/1)=(13/5/1)
> S=d+AP=(6/-4/-4)+(9/7/1)=(15/3/-3)

> (Welche Buchstaben muss ich hier groß, und welche klein
> schreiben?, Ich hab in der letzten Arbeit soviele Formfehler
> gemacht und will dass übermorgen möglichst vermeiden)


Dazu müsste ich wissen, wie ihr das vereinbart hat. Wir haben früher für Ortsvektoren immer OQ geschreiben, aber das scheint nicht mehr üblich zu sein. Es sieht ganz so aus, als wenn ihr die Ortsvektoren mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Stimmt das? In diesem Fall müsstest du dann auch die linken Seiten klein schreiben, also q = ... , r = ... und s = ... Der Rest wäre dann richtig.


> (Eigentlich sieht man doch schon an der 2. Gleichung das t=l
> ist und da ich die Information habe dass sich die Geraden
> schneiden, müsste ich doch eigentlich nicht mehr weiterrechnen
> und könnte t gleich in g einsetzen, oder?

Nein, du hast ja nicht die Information, dass sich die Geraden schneiden, sondern du sollst zeigen, dass sie sich schneiden. Von daher musst du zeigen, dass alle drei Gleichungen zu einer wahren Aussage führen.

> Bitte sag dass das richtig ist. Ich hab nämlich irgendwie das
> Gefühl je näher die Arbeit kommt, desto weniger kann ich :-((((

Bis auf die superminimini-Kleinigkeiten ;-) ist doch alles perfekt!!! Du brauchst dir vor der Abi-Klausur keine Sorgen zu machen, du wirst das mit links schaffen. :-))

Viele liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Vektoraufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Mi 14.05.2003
Autor: Lea

Lieber Stefan,

die Aufgabe find ich toll!
Das ist irgendwie ermutigend dass das richtig war.

Ich werde mein bestes tun Propaganda für dieses Forum zu betreiben, aber die meisten meiner Freunden sind gerade im Abi bzw. haben schon Abi, aber so ein paar...


Kannst du mir noch eine Aufgabe stellen morgen?

Viele liebe Grüße,
Lea

Bezug
        
Bezug
Vektoraufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:29 Do 15.05.2003
Autor: Stefan

Liebe Lea,

du kannst nicht nur Werbung für das Forum machen, du darfst gerne hier auch aktiv mitmachen. Man muss hier nämlich kein Mathematiker sein, um helfen zu können. Wichtig ist allein der Spaß an der Mathematik und am Vermitteln derselben. Und das hast du doch, wie ich weiß! :-)

Wenn man hier im Forum Fehler macht, ist das kein Beinbruch. Fehler gehören bei einer mathematischen Diskussion dazu und führen meistens sogar zu neuen Einsichten. Sicherlich werden wir hier nicht ständig oberlehrerhaft eingreifen, sondern eher gemeinsam diskutieren. Du brauchst also keine Hemmungen zu haben hier zu antworten. Ich hoffe sehr, dass du auch nach deinem Abi ein wenig Lust und Zeit hast hier mitzuarbeiten. Wir unterstehen hier keiner Nachhilfe-Organisation oder ähnlichem, sondern arbeiten ehremamtlich und nicht profitorientiert. Wir sind unser eigener Chef und haben hier im Gegensatz zu anderen Foren nicht ständig Angst unser "gutes Image" und "Kunden" zu verlieren, sondern schöpfen einzig und allein aus dem folgenden Ziel unsere Motivation: anderen bei ihren Matheproblemen zu helfen, Übungsmaterial bereitzustellen und Menschen im Idealfall sogar für die Mathematik zu gewinnen, die mit dieser bisher auf Kriegsfuß standen. Jeder kann zum Erfolg dieses Projektes mit beitragen, auch du, indem du zum Beispiel unsere Aufgabensammlung erweiterst, dort Lösungsvorschläge machst, auf Beiträge hier im Forum antwortest oder Fragen stellst, anderen Leuten von diesem Forum erzählst usw. Es soll nicht so sein wie in anderen Matheforen, dass nur Tutoren auf Fragen antworten, das würde den Sinn dieses Forums verfehlen.

Eine neue Aufgabe werde ich dir hier im Forum stellen. Bitte antworte dann hier auch darauf.

Viele liebe Grüße
Stefan


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