Vektoranalysis Operatoren < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1.
i) Berechnen Sie für den Vektor [mm] $\vec{A}=a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z}$ [/mm] die Divergenz [mm] $div(\vec{A})=\vec{\nabla} \vec{A}$ [/mm] und die Rotation [mm] $rot(\vec{A})=\vec{\nabla} \times \vec{A}$
[/mm]
ii) Zeigen Sie, dass [mm] $rot(grad(\phi [/mm] (x,y,z)))=0$ für eine skalare Potentialfunktion [mm] $\phi [/mm] (x,y,z)$.
iii) Berechnen Sie $div \ grad [mm] \frac{1}{r}\equiv \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \frac{1}{r}\equiv \Delta \frac{1}{r}$ [/mm] |
Hallo,
1.i )
Der Vektor [mm] $\vec{A}= a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z}=a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{a\\b\\c}$
[/mm]
[mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] ist so definiert: [mm] $\vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }$ [/mm]
also ist [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] hier [mm] $\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] ?
Und daher [mm] $\vec{\nabla}\vektor{a\\b\\c}= \vektor{0\\0\\0}\vektor{a\\b\\c}= [/mm] 0$ ?
Und [mm] rot(\vec{A})=\vektor{0\\0\\0}\times \vektor{a\\b\\c}$ [/mm] ?
Oder muss ich den Nabla Operator nicht "ausrechnen" sondern einfach so mit [mm] $\vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }$ [/mm] weiterrechnen? also: [mm] div(\vec{A})= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} } \vektor{a\\b\\c}$ [/mm] ?
Und dann wäre die Lösung für rot : [mm] $a\frac{\delta}{\delta x} [/mm] + b [mm] \frac{\delta}{\delta y} [/mm] + c [mm] \frac{\delta}{\delta z}$ [/mm] ?
ii)
$grad [mm] \phi$ [/mm] ist definiert als: [mm] $\nabla \phi$ [/mm] = [mm] $\vektor{\frac{\delta f}{\delta x} \\ \frac{\delta f}{\delta y} \\ \frac{\delta f}{\delta z} }= \vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
also ist zu zeigen: [mm] $rot(\vektor{1\\1\\1})=0$ [/mm]
iii) so ähnlich...
Für eine Aufklärung wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 So 27.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte korrigier dein Profil
man kann dir sonst nicht deinen Vorkenntnissen entsprechend antworten
Witze werden irgendwann mal blöd.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ich weiss noch nichts von Vektoranalysis.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 So 27.02.2011 | | Autor: | chrisno |
> 1.i )
Was herauskommen muss ist klar: bei einem konstanten Vektor gibt es keine Divergenz und Rotation.
>
> Der Vektor [mm]\vec{A}= a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z}=a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{a\\b\\c}[/mm]
>
> [mm]\vec{\nabla}[/mm] ist so definiert: [mm]\vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }[/mm]
>
> also ist [mm]\vec{\nabla}[/mm] hier [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] ?
Nein, denn alleine hat [mm]\vec{\nabla}[/mm] keinen Wert.
Nimm [mm]\vec{\nabla}[/mm] und [mm]\vec{A}[/mm] und rechne das Skalarprodunkt mit allen Zwischenschritten aus.
> Und [mm]rot(\vec{A})=\vektor{0\\0\\0}\times \vektor{a\\b\\c}$[/mm] ?
Wie oben, nur mit dem Kreuzprodukt.
>
> Oder muss ich den Nabla Operator nicht "ausrechnen" sondern
> einfach so mit [mm]$\vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }$[/mm]
> weiterrechnen? also: [mm]div(\vec{A})= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} } \vektor{a\\b\\c}$[/mm]
Da kommst Du der Sache schon näher, s.o.
> ?
>
> Und dann wäre die Lösung für rot : [mm]a\frac{\delta}{\delta x} + b \frac{\delta}{\delta y} + c \frac{\delta}{\delta z}[/mm]
Nur solltest Du immer zuerst den Operator hinschreiben. Dann wende den Operator auf eine Konstante an. Ableitung einer Konstanten ergibt null. Allerdings ist hier das Kreuzprodukt verschwunden. Wo ist der Vektor, der beim Kreuzprodukt herauskommt?
War die Aufgabe wirklich so gestellt? Ich halte sie so für .... Das passt nicht so recht zur nächsten.
>
> ii)
>
> [mm]grad \phi[/mm] ist definiert als: [mm]\nabla \phi[/mm] =
> [mm]\vektor{\frac{\delta f}{\delta x} \\ \frac{\delta f}{\delta y} \\ \frac{\delta f}{\delta z} }= \vektor{1\\1\\1}[/mm]
Nein. [mm]\phi[/mm] ist eine Funktion. Da müssen nun die partiellen Ableitungen dieser Funktion auftauchen.
>
> iii) so ähnlich...
Nein, hier wird es ja mal konkreter. Rechne mal d/dx von 1/r aus. Denk bitte daran, dass in dem r x, y und z stecken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
1. Für $ \vec{A}=a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z} $ soll div und rot ausgerechnet werden.
$ \vec{A}= a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z}=a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{a\\b\\c} $
$\vec{\nabla}}$=$ \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} $
i) $div(\vec{A})= \vec{\nabla}}\vec{A}=\vec{\nabla}\vektor{a\\b \\c} =\vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }\vektor{a\\b\\c}=\frac{\delta}{\delta x}a+ \frac{\delta}{\delta y}b + \frac{\delta}{\delta z}c= 0+0+0= 0 $
ii)
$rot(\vec{A})=\vec{\nabla}\times \vec{A}=\vec{\nabla}\times \vektor{a\\b\\c}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }\times \vektor{a\\b\\c}=\vektor{\frac{\delta}{\delta y}c-\frac{\delta}{\delta z}b \\\frac{\delta}{\delta z}a-\frac{\delta}{\delta x}c \\ \frac{\delta}{\delta x}b-\frac{\delta}{\delta y}a}= \vektor{0\\ 0\\ 0}$
< War die Aufgabe wirklich so gestellt?
Ja...
2. zz. $ rot(grad(\phi (x,y,z)))=0 $ für eine skalara potentialfunktion $\phi(x,y,z)$
$grad\phi=\nabla \phi= \ \vektor{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z} }= \vektor{\phi(x',0,0)\\ \phi(0,y',0) \\ \phi(0,0,z')} $
$rot(grad(\phi)))=\vec{\nabla}\times \vektor{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \times \vektor{{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}}=\vektor{0\\ 0 \\ 0}$
subtrahiert sich alles beim Kreuzprodukt...
iii) zu berechnen: $ div \ grad \frac{1}{r}\equiv \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \frac{1}{r}\equiv \Delta \frac{1}{r} $
Hier kann ich $r:=r(x,y,z)$ anschauen, oder?
< rechne mal d/dx von 1/r aus
das wäre $\frac{1}{(x',0,0)}$?
> Gruss
Danke!!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> 1. Für [mm]\vec{A}=a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z}[/mm]
> soll div und rot ausgerechnet werden.
>
> [mm]\vec{A}= a\vec{e}_{x}+b\vec{e}_{y}+c\vec{e}_{z}=a\vektor{1\\0\\0}+b\vektor{0\\1\\0}+c\vektor{0\\0\\1}=\vektor{a\\b\\c}[/mm]
>
> [mm]\vec{\nabla}}[/mm]=[mm] \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}}[/mm]
>
> i) [mm]div(\vec{A})= \vec{\nabla}}\vec{A}=\vec{\nabla}\vektor{a\\b \\c} =\vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }\vektor{a\\b\\c}=\frac{\delta}{\delta x}a+ \frac{\delta}{\delta y}b + \frac{\delta}{\delta z}c= 0+0+0= 0[/mm]
richtig.
>
> ii)
>
> [mm]rot(\vec{A})=\vec{\nabla}\times \vec{A}=\vec{\nabla}\times \vektor{a\\b\\c}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z} }\times \vektor{a\\b\\c}=\vektor{\frac{\delta}{\delta y}c-\frac{\delta}{\delta z}b \\\frac{\delta}{\delta z}a-\frac{\delta}{\delta x}c \\ \frac{\delta}{\delta x}b-\frac{\delta}{\delta y}a}= \vektor{0\\ 0\\ 0}[/mm]
>
Auch richtig.
>
> < War die Aufgabe wirklich so gestellt?
>
> Ja...
>
>
> 2. zz. [mm]rot(grad(\phi (x,y,z)))=0[/mm] für eine skalara
> potentialfunktion [mm]\phi(x,y,z)[/mm]
>
> [mm]grad\phi=\nabla \phi= \ \vektor{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z} }= \vektor{\phi(x',0,0)\\ \phi(0,y',0) \\ \phi(0,0,z')}[/mm]
das letzte ist eine seltsame Darstellung, die ich lieber weglassen würde. Denn [mm] $\phi(x',0,0)=\phi(1,0,0)$, [/mm] wenn ' die Ableitung nach x bezeichnet und das ist was anderes als [mm] $\frac{\partial }{\partial x}\phi(x,y,z)$. [/mm] Außerdem werden bei der partiellen Ableitung nicht die Argumente zu null, sondern die Terme die lediglich von einer der Variablen abhängen nach der nicht differenziert wird, werden bei der Ableitung zu null, da sie konstant sind.
>
> [mm]rot(grad(\phi)))=\vec{\nabla}\times \vektor{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \times \vektor{{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}}=\vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
Das ist im Prinzip nur die Behauptung, aber die gilt es zu zeigen.
>
> subtrahiert sich alles beim Kreuzprodukt...
das will ich sehn...
>
>
> iii) zu berechnen: [mm]div \ grad \frac{1}{r}\equiv \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \frac{1}{r}\equiv \Delta \frac{1}{r}[/mm]
>
> Hier kann ich [mm]r:=r(x,y,z)[/mm] anschauen, oder?
>
Ja, aber das ist kein beliebiger Zusammenhang, sondern ein ganz bestimmter - r ist der Betrag des Vektors, also kannst Du die Funktion konkret angeben.
> < rechne mal d/dx von 1/r aus
>
> das wäre [mm]\frac{1}{(x',0,0)}[/mm]?
>
Nein, nach Kettenregel gilt:
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{r(x,y,z)}=-\frac{1}{r^2(x,y,z)}\cdot\frac{\partial }{\partial x}r(x,y,z)$
[/mm]
>
> > Gruss
>
>
> Danke!!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> das will ich sehen
$ [mm] rot(grad(\phi)))=\vec{\nabla}\times \vektor{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \times \vektor{{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}}=\vektor{\frac{\delta}{\delta y} \frac{\delta \phi}{\delta z}- \frac{\delta}{\delta z} \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}\frac{\delta \phi}{\delta x} - \frac{\delta}{\delta x} \frac{\delta \phi}{\delta z} \\ \frac{\delta}{\delta x} \frac{\delta \phi}{\delta \delta y}- \frac{\delta}{\delta y} \frac{\delta \phi}{\delta x}} =\vektor{0\\ 0 \\ 0} [/mm] $
richtig?
iii) $ div \ grad [mm] \frac{1}{r}\equiv \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \frac{1}{r}\equiv \Delta \frac{1}{r} [/mm] $
$grad [mm] \frac{1}{r}=grad r^{-1}= \vec{\nabla} r^{-1}=\vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r }$
[/mm]
$div \ grad \ [mm] r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r }$
[/mm]
richtig angesetzt??
> Gruß,
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
Nabend,
> Hallo,
>
>
>
> > das will ich sehen
>
> [mm]rot(grad(\phi)))=\vec{\nabla}\times \vektor{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x}\\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \times \vektor{{\frac{\delta \phi}{\delta x} \\ \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta \phi}{\delta z}}}=\vektor{\frac{\delta}{\delta y} \frac{\delta \phi}{\delta z}- \frac{\delta}{\delta z} \frac{\delta \phi}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}\frac{\delta \phi}{\delta x} - \frac{\delta}{\delta x} \frac{\delta \phi}{\delta z} \\ \frac{\delta}{\delta x} \frac{\delta \phi}{\delta \delta y}- \frac{\delta}{\delta y} \frac{\delta \phi}{\delta x}} =\vektor{0\\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> richtig?
ja, ich würde aber noch dazu sagen, dass hier die Gültigkeit des Satzes von Schwarz gegeben sein muss.
>
>
> iii) [mm]div \ grad \frac{1}{r}\equiv \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \frac{1}{r}\equiv \Delta \frac{1}{r}[/mm]
>
>
> [mm]grad \frac{1}{r}=grad r^{-1}= \vec{\nabla} r^{-1}=\vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r }[/mm]
Ja, aber wie bereits gesagt. Du kannst $r(x,y,z)=?$ konkret angeben. Damit vereinfacht sich die Rechnung dann.
>
> [mm]div \ grad \ r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r }[/mm]
>
>
> richtig angesetzt??
>
> > Gruß,
>
> Danke!
>
> Gruss
>
> kushkush
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Ja, aber wie bereits gesagt. Du kannst r(x,y,z)=? konkret angeben. Damit > > > vereinfacht sich die Rechnung dann.
>
Ich verstehe nicht. Wie meinst du das?
$ div \ grad \ [mm] r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r } [/mm] = [mm] -\frac{\delta ^{2}}{\delta x ^{2}}r [/mm] - [mm] \frac{\delta ^{2}}{\delta y^{2}}r [/mm] - [mm] \frac{\delta ^{2}}{\delta z^{2}} [/mm] r $
Ist es so richtig? Und da $div \ grad [mm] \frac{1}{r}$ [/mm] ja durch die Definition dasselbe ist wie [mm] $\vec{\nabla} \vec{\nabla} \frac{1}{r}$ [/mm] und [mm] $\delta \frac{1}{r}$
[/mm]
wäre es OK, wenn ich bei den anderen auf die Definitionen verweise?
< Gruß,
Danke!!!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> Hallo,
>
>
> > Ja, aber wie bereits gesagt. Du kannst r(x,y,z)=? konkret
> angeben. Damit > > > vereinfacht sich die Rechnung dann.
> >
>
> Ich verstehe nicht. Wie meinst du das?
Ich sagte ja bereits, dass r der Betrag des Vektors ist. D.h. [mm] $r(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
[/mm]
damit wird
[mm] $\operatorname{grad}\frac{1}{r}=\nabla\frac{1}{r}=-\frac{\vec{r}}{r^3}$
[/mm]
Davon jetzt noch die Divergenz bilden, dann hast Dus.
>
> [mm]div \ grad \ r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r } = -\frac{\delta ^{2}}{\delta x ^{2}}r - \frac{\delta ^{2}}{\delta y^{2}}r - \frac{\delta ^{2}}{\delta z^{2}} r [/mm]
>
> Ist es so richtig? Und da [mm]div \ grad \frac{1}{r}[/mm] ja durch
Im Prinzip kommst Du so auch zum Ziel, Du musst allerdings Produkt- und Kettenregel anwenden.
> die Definition dasselbe ist wie [mm]\vec{\nabla} \vec{\nabla} \frac{1}{r}[/mm]
> und [mm]\delta \frac{1}{r}[/mm]
Nein, so ists richtig: [mm] $\nabla\nabla=\Delta$
[/mm]
>
> wäre es OK, wenn ich bei den anderen auf die Definitionen
> verweise?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
< $ [mm] \operatorname{grad}\frac{1}{r}=\nabla\frac{1}{r}=-\frac{\vec{r}}{r^3} [/mm] $
[mm] $\operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= \frac{\delta}{\delta x}\frac{-x}{r^{3}}+ \frac{\delta}{\delta y}\frac{-y}{r^{3}} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{\delta z}\frac{-z}{r^{3}}$
[/mm]
also gäbe das hier $-3$ ??????
< Im Prinzip kommst Du so auch zum Ziel, Du musst allerdings Produkt- und < < Kettenregel anwenden.
Wo kommt denn die Produktregel vor, ich habe ja nur die Funktion r(x,y,z) ??
< Nein, so ists richtig:
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> <
> [mm]\operatorname{grad}\frac{1}{r}=\nabla\frac{1}{r}=-\frac{\vec{r}}{r^3}[/mm]
>
> [mm]\operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= \frac{\delta}{\delta x}\frac{-x}{r^{3}}+ \frac{\delta}{\delta y}\frac{-y}{r^{3}} + \frac{\delta}{\delta z}\frac{-z}{r^{3}}[/mm]
>
> also gäbe das hier [mm]-3[/mm] ??????
also ich komm da auf was anderes. Rechne nochmal nach, oder stell Deine Rechnung vor, dann können wir schaun, was falsch ist.
>
>
> < Im Prinzip kommst Du so auch zum Ziel, Du musst
> allerdings Produkt- und < < Kettenregel anwenden.
>
> Wo kommt denn die Produktregel vor, ich habe ja nur die
> Funktion r(x,y,z) ??
Ursprünglich hattest Du stehen:
$ div \ grad \ [mm] r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r } [/mm] = [mm] -\frac{\delta ^{2}}{\delta x ^{2}}r [/mm] - [mm] \frac{\delta ^{2}}{\delta y^{2}}r [/mm] - [mm] \frac{\delta ^{2}}{\delta z^{2}} [/mm] r $
Wenn Du also jetzt die erste Komponente [mm] $-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r$ [/mm] partiell nach x ableiten willst, also:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right)$
[/mm]
steht da ein Produkt mit den Faktoren [mm] $-r^{-2}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial x}r$ [/mm] deswegen Produktregel.
>
>
> < Nein, so ists richtig:
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
< Rechne nochmal
$ [mm] \operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= \frac{\delta}{\delta x}\frac{-x}{r^{3}}+ \frac{\delta}{\delta y}\frac{-y}{r^{3}} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{\delta z}\frac{-z}{r^{3}} [/mm] = [mm] \frac{-3}{r^{3}} [/mm] $
es wird doch nach x bzw. y bzw. z abgeleitet dann??
< Produktregel
$ [mm] \frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) [/mm] = [mm] r^{-3} \frac{\delta}{\delta x}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r$
[/mm]
< ursprünglich
$ div \ grad \ [mm] r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r } [/mm] = [mm] r^{-3} \frac{\delta}{\delta x}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r [/mm] + [mm] r^{-3} \frac{\delta}{\delta y}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta y^{2}}r [/mm] + [mm] r^{-3} \frac{\delta}{\delta z}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta z^{2}}r [/mm] $
Etwa so??
Danke...
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> < Rechne nochmal
>
> [mm]\operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= \frac{\delta}{\delta x}\frac{-x}{r^{3}}+ \frac{\delta}{\delta y}\frac{-y}{r^{3}} + \frac{\delta}{\delta z}\frac{-z}{r^{3}} = \frac{-3}{r^{3}}[/mm]
>
> es wird doch nach x bzw. y bzw. z abgeleitet dann??
ja genau, so wie ich das sehe hast Du aber missachtet, dass r keine Konstante, sondern eine Funktion von x,y,z ist. r ist also auch abzuleiten.
>
> < Produktregel
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) = r^{-3} \frac{\delta}{\delta x}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r[/mm]
>
Jetzt hast Du zwar die Produktergel angewandt, aber die Kettenregel vergessen ;)
>
> < ursprünglich
>
> [mm]div \ grad \ r^{-1}= \vektor{\frac{\delta }{\delta x}\\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z}} \vektor{-r^{-2}\frac{\delta}{\delta x}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta y}r \\ -r^{-2}\frac{\delta}{\delta z}r } = r^{-3} \frac{\delta}{\delta x}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r + r^{-3} \frac{\delta}{\delta y}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta y^{2}}r + r^{-3} \frac{\delta}{\delta z}r -r^{-2}\frac{\delta ^{2}}{\delta z^{2}}r[/mm]
>
>
> Etwa so??
>
nein, siehe oben.
>
>
> Danke...
>
>
> Gruss
>
> kushkush
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
< ja genau, so wie ich das sehe hast Du aber missachtet, dass r keine Konstante, < sondern eine Funktion von x,y,z ist. r ist also auch abzuleiten.
$ [mm] \operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= -r^{-3}+3xr^{-4}-r^{-3}+3yr^{-4}-r^{-3}+3zr^{-4}$
[/mm]
< produktregel ja kettenregel vergessen
$ [mm] \frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) [/mm] = [mm] 2(r)^{-3}\frac{\delta}{\delta x}r [/mm] - [mm] r^{-2} \frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r [/mm] $
richtig?
Danke.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> < ja genau, so wie ich das sehe hast Du aber missachtet,
> dass r keine Konstante, < sondern eine Funktion von x,y,z
> ist. r ist also auch abzuleiten.
>
> [mm]\operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= -r^{-3}+3xr^{-4}-r^{-3}+3yr^{-4}-r^{-3}+3zr^{-4}[/mm]
>
>
> < produktregel ja kettenregel vergessen
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) = 2(r)^{-3}\frac{\delta}{\delta x}r - r^{-2} \frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r[/mm]
>
Ich rechne Dir mal den ersten Summanden vor:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\frac{-x}{r^3}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{-x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}-\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2x^2-y^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}=\frac{2x^2-y^2-z^2}{r^5}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
< Ich rechne Dir mal den ersten Summanden vor:
Danke!!!!
Damit sieht eine Form der Endlösung so aus:
$ [mm] \operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= \frac{\delta}{\delta x}\frac{-x}{r^{3}}+ \frac{\delta}{\delta y}\frac{-y}{r^{3}} [/mm] + [mm] \frac{\delta}{\delta z}\frac{-z}{r^{3}} [/mm] = [mm] \frac{2x^{2}-y^{2}-z^{2}}{r^{5}}+\frac{2y^{2}-x^{2}-z^{2}}{r^{5}}+\frac{2z^{2}-x^{2}-y^{2}}{r^{5}}= [/mm] 0$
Wie rechne ich das denn, ohne substituieren mit dem Betrag, also die partielle Ableitung??
$ [mm] \frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) [/mm] = [mm] 2(r)^{-3}\frac{\delta}{\delta x}r [/mm] - [mm] r^{-2} \frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r [/mm] $
Danke.
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> < Ich rechne Dir mal den ersten Summanden vor:
>
>
> Danke!!!!
>
> Damit sieht eine Form der Endlösung so aus:
>
>
> [mm]\operatorname{div} \operatorname{grad}\frac{1}{r}= \nabla \nabla \frac{1}{r}= \vektor{\frac{\delta}{\delta x} \\ \frac{\delta}{\delta y} \\ \frac{\delta}{\delta z}} \vektor{\frac{-x}{r^{3}}\\ \frac{-y}{r^{3}}\\ \frac{-z}{r^{3}}}= \frac{\delta}{\delta x}\frac{-x}{r^{3}}+ \frac{\delta}{\delta y}\frac{-y}{r^{3}} + \frac{\delta}{\delta z}\frac{-z}{r^{3}} = \frac{2x^{2}-y^{2}-z^{2}}{r^{5}}+\frac{2y^{2}-x^{2}-z^{2}}{r^{5}}+\frac{2z^{2}-x^{2}-y^{2}}{r^{5}}= 0[/mm]
Jetzt stimmts 
>
> Wie rechne ich das denn, ohne substituieren mit dem Betrag,
> also die partielle Ableitung??
Wie meinst Du das? Um die partiellen Ableitungen kommst Du nicht drumherum und ohne r zu substituieren funktioniert das ganz genauso, das verkürzt ja nur ein wenig die Schreibarbeit.
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) = 2(r)^{-3}\frac{\delta}{\delta x}r - r^{-2} \frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r[/mm]
>
>
>
> Danke.
>
>
> Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Wie meinst Du das?
Kannst du mir ein Beispiel partiell ableiten ohne dass r zu substituieren?
Bzw. kannst du mir sagen was bei meiner partiellen Ableitung von :
$ [mm] \frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) [/mm] = [mm] 2(r)^{-3}\frac{\delta}{\delta x}r [/mm] - [mm] r^{-2} \frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r [/mm] $
fehlt/falsch ist?
Danke für die Hilfe!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> > Wie meinst Du das?
>
>
> Kannst du mir ein Beispiel partiell ableiten ohne dass r zu
> substituieren?
hab ich doch schon gemacht:
$ [mm] \frac{\partial}{\partial x}\frac{-x}{r^3}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{-x}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{3x^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}-\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2x^2-y^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}=\frac{2x^2-y^2-z^2}{r^5} [/mm] $
Lass einfach den Term nach dem letzten Gleichheitszeichen weg, dann hast Dus ohne Substitution.
>
> Bzw. kannst du mir sagen was bei meiner partiellen
> Ableitung von :
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}\left(-r^{-2}\frac{\partial}{\partial x}r\right) = 2(r)^{-3}\frac{\delta}{\delta x}r - r^{-2} \frac{\delta ^{2}}{\delta x^{2}}r[/mm]
>
> fehlt/falsch ist?
Du hast die Kettenregel nicht angewendet. Ich nehme mal nur den ersten Faktor [mm] $-r^{-2}$, [/mm] dieser abgeleitet ist:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}-r^{-2}=\frac{2x}{(x^2+y^2+z^2)^2}=\frac{2x}{r^4}$
[/mm]
So wäre es richtig, bei Dir steht da nur [mm] $2r^{-3}$
[/mm]
>
>
> Danke für die Hilfe!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mo 28.02.2011 | | Autor: | kushkush |
< Lass einfach den Term nach dem letzten Gleichheitszeichen weg, dann hast Dus < ohne Substitution.
OK.
Danke dir!!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mo 28.02.2011 | | Autor: | notinX |
> < Lass einfach den Term nach dem letzten Gleichheitszeichen
> weg, dann hast Dus < ohne Substitution.
>
> OK.
>
> Danke dir!!
>
Gerne
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruß,
notinX
|
|
|
|
